Zad. 11 str. 134 z.z.Wyznacz dziedzinę funkcji fd) e) f) zad. 14 str. 134 z.z.Wyznacz wartości param.... Question from @marcinasdd

November 2018 1 10 Report

Zad. 11 str. 134 z.z.
Wyznacz dziedzinę funkcji f
d) $f(x) = \frac{1}{\sqrt {x^2-|x|}}$
e) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x*|x|}}$
f) $f(x) = \frac{x}{9x^2 -6|x|+1}$

zad. 14 str. 134 z.z.
Wyznacz wartości parametru m, dla których wartość największa funkcji $f(x) = (2m-1)x^2 - \sqrt 2 m - m + 6$ jest liczbą ujemną.

zad. 15 str. 134 z.z.
Dana jest funkcja $f(x) = x^2 + (m-3)x +m$ . Wyznacz wartości parametru m, dla których wartość najmniejsza funkcji jest:
a) większa od 3
b) mniejsza od $3\frac{3}{4}$

Roma Zad. 11
d)
$f(x) = \frac{1}{\sqrt {x^2-|x|}} \\\\
Dziedzina: \\\\
\sqrt {x^2-|x|} \neq 0 \ \wedge \ x^2-|x| \geq 0 \\\
Zatem: \\\
x^2-|x| > 0 \\\
-|x| > - x^2 \ / \cdot (-1) \\\
|x| < x^2 \\\
x < x^2 \ \wedge x > - x^2 \\\\
x < x^2 \\\
- x^2 + x< 0 \\\
Wyznaczamy \ miejsca \ zerowe: \\\
- x^2 + x= 0 \\\
-x \cdot(x - 1) = 0 \\\
-x = 0 \ / \cdot (-1) \ \vee \ x - 1 = 0 \\\
x = 0 \ \vee \ x = 1 \\\
Zatem: \ - x^2 + x< 0 \ dla: \\\
x \in (-\infty; \ 0) \cup (1; \ + \infty)$

$x
 > - x^2 \\\ x^2 + x> 0 \\\ Wyznaczamy \ miejsca \ zerowe: \\\ x^2
 + x= 0 \\\ x \cdot(x + 1) = 0 \\\ -x = 0 \ \vee \ x - 1 = 0 \\\ x = 0 \
 \vee \ x = -1 \\\ Zatem: \ x^2 + x> 0 \ dla: \\\ x \in (-\infty; \ 
-1) \cup (0; \ + \infty)$

Ostatecznie dziedzina funkcji f to część wspólna wyznaczonych zbiorów: $x \in [(-\infty; \ 0) \cup (1; \ + \infty)] \cap [(-\infty; \ -1) \cup (0; \ + \infty)] = \\\
= (-\infty; \ -1) \cup (1; \ + \infty)$

Dziedzina:
$D = \{x \in R: \ x \in (-\infty; \ -1) \cup (1; \ + \infty) \}$

e)
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x \cdot |x|}} \\\\
Dziedzina:\\\
\sqrt{x \cdot |x|} \neq 0 \ \wedge \ x \cdot |x| \geq 0 \\\
Zatem: \\\
x \cdot |x| > 0 \\\\
\underline{x \in (-\infty; \ 0)} \\\
x \cdot (-x) > 0 \\\
-x^2 > 0 \\\
Zatem \ w \ tym \ przedziale \ x \in \emptyset \\\\
\underline{x \in \langle 0; \ +\infty)} \\\
x \cdot x > 0 \\\
x^2 > 0 \\\
Zatem \ w \ tym \ przedziale \ x \in (0; \ +\infty)$

Ostatecznie dziedzina funkcji f to suma wyznaczonych zbiorów:
$x \in \emptyset \cup (0; \ +\infty) = (0; \ +\infty)$

Dziedzina:
$D = \{x \in R: \ x \in (0; \ +\infty) \}$

f)
$f(x) = \frac{x}{9x^2 -6|x|+1} \\\\ Dziedzina: \\\ 9x^2 
-6|x|+1 \neq 0 \\\\ \underline{x \in (-\infty; \ 0)} \\\ 9x^2 -6 \cdot 
(-x)+1 \neq 0 \\\ 9x^2 +6x+1 \neq 0 \\\ (3x +1)^2 \neq 0 \\\ 3x +1 \neq 0
 \\\ 3x \neq - 1 \ /:3 \\\ x \neq -\frac{1}{3} \\\\
\underline{x \in \langle 0;\ +\infty)} \\\ 9x^2 -6x+1 \neq 0\\\ (3x 
-1)^2 \neq 0 \\\ 3x -1 \neq 0 \\\ 3x \neq 1 \ /:3 \\\ x \neq \frac{1}{3}$

Ostatecznie dziedzina funkcji f to suma wyznaczonych zbiorów:
$x \neq -\frac{1}{3} \ \wedge \ x \neq \frac{1}{3}$

Dziedzina:
$D = \{x \in R: \ x \neq -\frac{1}{3} \ \wedge \ x \neq \frac{1}{3} \}$

Zad. 14
$f(x) = (2m-1)x^2 - \sqrt 2 m - m + 6$

Na początku należy sprawdzić przypadek, gdy funkcja f nie jest funkcją kwadratową, czyli dla a = 0, stąd:
$2m-1 = 0 \\\
2m = 1 \ /:2 \\\
m = \frac{1}{2}$

Zatem dla $m = \frac{1}{2}$ funkcja f przyjmuje postać:
$f(x)=
 (2\cdot \frac{1}{2} -1)x^2 - \sqrt 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2}+ 6
 = (1 -1)x^2 -\frac{\sqrt {2}}{2} +5\frac{1}{2} = \\\\
= -\frac{\sqrt {2}}{2} +\frac{11}{2} =\frac{11-\sqrt {2}}{2}$
czyli wykresem funkcji jest prosta równoległa do osi OX i funkcja ta przyjmuje tylko wartości dodatnie, bo
$f(x)= \frac{11-\sqrt {2}}{2} \approx 
4,79 > 0$

Funkcja kwadratowa przyjmuje największą wartość w wierzchołku paraboli, gdy jej ramiona są skierowane w dół, czyli gdy a < 0. Ponadto, wartość najmniejsza ma być liczbą ujemną, czyli funkcja nie może przecinać osi OX, a to oznacza, że Δ < 0 oraz druga współrzędna wierzchołka paraboli W =(p; q) musi być ujemna, czyli $q =\frac{-\Delta}{4a} < 0$

Zatem należy sprawdzić dla jakich m: a < 0 i Δ < 0 oraz q < 0

$f(x) = (2m-1)x^2 - \sqrt 2 m - m + 6 \\\
a = 2m - 1; \ b = 0; \ c = - \sqrt 2 m - m + 6$

$\underline{a <0} \\\ 2m-1 < 0 \\\ 2m < 1 \ /:2 \\\ m < \frac{1}{2} \\\ Zatem: \\\ m \in (-\infty; \ \frac{1}{2})$

$\underline{\Delta <0} \\\
\Delta = 0^2 - 4 \cdot (2m - 1) \cdot ( - \sqrt{2} m - m + 6) = - 4\cdot (2m - 1) \cdot \\\
 \cdot ( - \sqrt{2} m - m + 6)\\\\
- 4 \cdot (2m - 1)( - \sqrt{2} m - m + 6) < 0 \ /:(-4) \\\
(2m - 1)( - \sqrt{2} m - m + 6) > 0 \\\
Wyznaczamy \ miejsca \ zerowe: \\\
(2m - 1)( - \sqrt{2} m - m + 6) = 0 \\\
2m - 1 = 0 \ \vee \ - \sqrt{2} m - m + 6 =0 \\\\
2m-1 = 0 \\\ 2m = 1 \ /:2 \\\ m = \frac{1}{2}$

$-
 \sqrt{2} m - m + 6 =0 \\\ (-\sqrt{2}-1) \cdot m = - 6 \ / : 
(-\sqrt{2}-1) \\\ m = \frac{-6}{-\sqrt{2}-1} \\\ m = 
\frac{-6}{-(\sqrt{2}+1)} \\\ m = \frac{6}{\sqrt{2}+1} \\\ m = \frac{6 
\cdot (\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} \\\ m = \frac{6 \cdot 
(\sqrt{2}-1)}{2-1} \\\ m = \frac{6 \cdot (\sqrt{2}-1)}{1} \\\ m = 6 
\cdot (\sqrt{2}-1) \\\ m =6\sqrt{2}-6 \approx 2,49$

Ramiona paraboli są skierowane w dół, bo m < 0, zatem $(2m - 1)( - \sqrt{2} m - m + 6) > 0, \ czyli \ \Delta < 0$ dla:
$m \in (\frac{1}{2}; \ 6\sqrt{2}-6)$

$\underline{q =\frac{-\Delta}{4a} < 0}\\\\
\frac{-(- 4\cdot (2m - 1) \cdot ( - \sqrt{2} m - m + 6))}{4\cdot(2m - 1)} < 0 \\\\
\frac{4\cdot (2m - 1) \cdot ( - \sqrt{2} m - m + 6)}{4\cdot(2m - 1)} < 0 \\\\
- \sqrt{2} m - m + 6 < 0 \ / \cdot (-1)\\\\
\sqrt{2} m +m - 6 > 0 \\\\
(\sqrt{2}+1) \cdot m > 6 \ /:(\sqrt{2}+1)$
$m > \frac{6}{\sqrt{2}+1} \\\\
m> \frac{6 \cdot (\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} \\\\ 
m >\frac{6 \cdot (\sqrt{2}-1)}{2-1} \\\\
m > \frac{6 \cdot (\sqrt{2}-1)}{1} \\\\ 
m > 6 \cdot (\sqrt{2}-1) \\\\
m >6\sqrt{2}-6$

Biorąc pod uwagę wszystkie warunki:
$m \in (-\nfty; \ \frac{1}{2}) \ \wedge \ m \in (\frac{1}{2}; \ 6\sqrt{2}-6) \ \wedge \ m >6\sqrt{2}-6$
otrzymujemy:
$m \in \emptyset$
czyli nie istnieje takie m, dla którego największa wartość funkcji jest liczbą ujemną.

Zad. 15
$f(x) = x^2 + (m-3)x +m \\\
a = 1; \ b = m - 3; \ c = m$

Funkcja kwadratowa, gdy a > 0, czyli ramiona paraboli są skierowane w górę, przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku W = (p; q) paraboli, czyli
$f_{min} = q = \frac{-\Delta}{4a}$

Zatem:
$\Delta = (m-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = m^2 -6m +9 - 4m = m^2 - 10m +9 \\\\
q = \frac{-\Delta}{4a} \\\\
q = \frac{-(m^2 - 10m +9)}{4 \cdot 1} \\\\
q= \frac{-m^2+ 10m -9)}{4}$

a)
$f_{min} (x)> 3, czyli \ q > 3 \\\\
Zatem: \\\
q > 3 \\\
\frac{-m^2+ 10m -9)}{4} > 3 \ / \cdot 4 \\\
-m^2+ 10m -9 > 12 \\\
-m^2+ 10m -9 -12 > 0 \\\
-m^2+ 10m -21 > 0 \\\
Wyznaczamy \ miejsca \ zerowe: \\\
\Delta = 10^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-21) = 100 - 84 = 16 \\\
m_1 = \frac{-10- \sqrt{16}}{2 \cdot (-1)}=\frac{-10-4}{-2}=\frac{-14}{-2}=7 \\\
m_2 = \frac{-10+\sqrt{16}}{2 \cdot (-1)}=\frac{-10+4}{-2}=\frac{-6}{-2}=3$

Zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy parabolę, której ramiona są skierowane w dół, bo a = - 1 < 0.

Zatem $-m^2+ 10m -21 > 0$ dla:
$m \in (3; \ 7)$

b)
$f_{min} (x)< 3\frac{3}{4}, czyli \ q <3\frac{3}{4} 
\\\\ 
Zatem: \\\ q < 3\frac{3}{4} \\\ 
\frac{-m^2+ 10m -9)}{4}< 3\frac{3}{4} \\\
\frac{-m^2+ 10m -9)}{4}< \frac{15}{4} \ / \cdot 4 \\\ 
-m^2+ 10m -9 < 15 \\\ -m^2+ 10m -9 -15 < 0 \\\ 
-m^2+ 10m -24 < 0 \\\ 
Wyznaczamy \ miejsca \ zerowe: \\\ 
\Delta = 10^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-24) = 100 - 96 = 4 \\\ m_1 = 
\frac{-10- \sqrt{4}}{2 \cdot (-1)}=\frac{-10-2}{-2}=\frac{-12}{-2}=6 \\\
 m_2 = \frac{-10+\sqrt{16}}{2 \cdot 
(-1)}=\frac{-10+2}{-2}=\frac{-8}{-2}=4$

Zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy parabolę, której ramiona są skierowane w dół, bo a = - 1 < 0.

Zatem $-m^2+ 10m -24 < 0$ dla:
$m \in (-\infty; \ 4) \cup (6; \ +\infty)$

2 votes Thanks 1