Zad. 10 str. 134 z.z.Naszkicuj wykres funkcji f i podaj jej zbiór wartości.a) b) zad. 12 str. 134 z.... Question from @marcinasdd

November 2018 1 7 Report

Zad. 10 str. 134 z.z.
Naszkicuj wykres funkcji f i podaj jej zbiór wartości.
a) $f(x) = x^2 -4|x| +3$
b) $f(x) = x^2+|4x-4|$

zad. 12 str. 134 z.z.
Wyznacz wartości parametru m, dla których zbiorem wartości funkcji f jest przedział $<0; \infty)$ .
a) $f(x) = mx^2 +(2m+1)x +5m + 1$
b) $f(x) = (m-1)x^2 +(3m-1)x +3m$

zad. 13 str. 134 z.z.
Wyznacz wartości parametru m, dla których wartość największa funkcji $f(x) = (2m-1)x^2 - \sqrt 2 m -m+6$ jest liczbą dodatnią.

Roma Zad. 10
a)
$f(x) = x^2 -4|x| +3$
Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:
|x| = x dla x ≥ 0
|x| = - x dla x < 0

Zatem wykres będziemy sporządzać w przedziałach:
1. x < 0, czyli x ∈ (- ∞; 0)
W tym przedziale funkcja f ma postać:
$f(x) = x^2 -4(-x) +3 = x^2 +4x +3$
Wyznaczamy punkty, które pozwolą nam naszkicować wykres tej funkcji, czyli parabolę y = x² + 4x + 3

Punkt przecięcia z osią OY: (0; c) = (0; 3)

$\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \\\
x_1 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1}= \frac{-4-2}{2} = \frac{-6}{2}=-3 \\\
x_2 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1}= \frac{-4+2}{2} = \frac{-2}{2}=-1 \\\
p = \frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2}= -2 \\\
q = \frac{-4}{4 \cdot 1}= \frac{-4}{4}=-1$
Zatem:
Punkty przecięcia z osią OX: (-3; 0) i (- 1; 0)
Współrzędne wierzchołka paraboli: W = (p; q) =(- 2; - 1)

Zaznaczamy wyznaczone punkty i szkicujemy parabolę y = x² + 4x + 3, jednak do wykresu funkcji f należy część wykresu dla x ∈ (- ∞; 0) - patrz załącznik (część wykresu będąca wykresem funkcji f zaznaczono na czerwono)

2.x ≥ 0, czyli x ∈ <0; + ∞)
W tym przedziale funkcja f ma postać:
$f(x) = x^2 -4x +3$
Wyznaczamy punkty, które pozwolą nam naszkicować wykres tej funkcji, czyli parabolę y = x² - 4x + 3

Punkt przecięcia z osią OY: (0; c) = (0; 3)

$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \\\
x_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1}= \frac{4-2}{2} = \frac{2}{2}=1 \\\
x_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1}= \frac{4+2}{2} = \frac{6}{2}=3 \\\
p = \frac{4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2}= 2 \\\
q = \frac{-4}{4 \cdot 1}= \frac{-4}{4}=-1$
Zatem:
Punkty przecięcia z osią OX: (1; 0) i (3; 0)
Współrzędne wierzchołka paraboli: W = (p; q) =(2; - 1)

Zaznaczamy wyznaczone punkty i szkicujemy parabolę y = x² - 4x + 3, jednak do wykresu funkcji f należy część wykresu dla x ∈ <0; +∞) - patrz załącznik (część wykresu będąca wykresem funkcji f zaznaczono na czerwono)

Wykres funkcji $f(x) = x^2 -4|x| +3$ - patrz załącznik - na rysunku zaznaczono kolorem czerwonym.

Zbiór wartości funkcji odczytujemy z jej wykresu i jest to zbiór:
$ZW_f = \{y \in R: y \geq -1, \ czyli \ y \in \langle-1; \ + \infty) \}$

b)
$f(x) = x^2+|4x-4|$
Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:
|4x -4| = 4x - 4 dla 4x - 4 ≥ 0, czyli dla:
4x - 4 ≥ 0
4x ≥ 4 /: 4
x ≥ 1

|4x - 4| = - (4x - 4) = - 4x + 4 dla 4x - 4 < 0, czyli dla
4x - 4 < 0
4x < 4 /:4
x < 1

Zatem wykres będziemy sporządzać w przedziałach:
1. x < 1, czyli x ∈ (- ∞; 1)
W tym przedziale funkcja f ma postać:
$f(x) = x^2+(- 4x + 4) = x^2-4x +4$
Wyznaczamy punkty, które pozwolą nam naszkicować wykres tej funkcji, czyli parabolę y = x² - 4x + 4

Punkt przecięcia z osią OY: (0; c) = (0; 4)

$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16= 0 \\\
x_0 = \frac{-4}{2 \cdot 1}= \frac{-4}{2} = -2 \\\
p = \frac{4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2}= 2 \\\
q = \frac{0}{4 \cdot 1}= \frac{0}{4}=0$
Zatem:
Punkt przecięcia z osią OX: (2; 0)
Współrzędne wierzchołka paraboli: W = (p; q) =(2; 0)

Zaznaczamy wyznaczone punkty i szkicujemy parabolę y = x² - 4x + 4, jednak do wykresu funkcji f należy część wykresu dla x ∈ (- ∞; 1) - patrz załącznik (część wykresu będąca wykresem funkcji f zaznaczono na czerwono)

2.x ≥ 1, czyli x ∈ <1; + ∞)
W tym przedziale funkcja f ma postać:
$f(x) = x^2 + </span><span>4x - 4$
Wyznaczamy punkty, które pozwolą nam naszkicować wykres tej funkcji, czyli parabolę y = x²+ 4x - 4

Punkt przecięcia z osią OY: (0; c) = (0; 3)

$\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16+ 16 = 32 \\\ x_1 = \frac{-4 - \sqrt{32}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - \sqrt{16 \cdot 2}}{2} = \frac{-4 - 4\sqrt{2}}{2} =-2 - 2\sqrt{2} \approx -4,83 \\\ x_2 = \frac{-4+ \sqrt{32}}{2 \cdot 1} = \frac{-4+ \sqrt{16 \cdot 2}}{2} = \frac{-4 +4\sqrt{2}}{2} =-2 +2\sqrt{2} \approx 0,83 \\\ p = \frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2}= -2 \\\ q = \frac{-32}{4 \cdot 1}= \frac{-32}{4}=-8$
Zatem:
Punkty przecięcia z osią OX: (-4,83; 0) i (0,83; 0)
Współrzędne wierzchołka paraboli: W = (p; q) =(-2; - 8)

Zaznaczamy wyznaczone punkty i szkicujemy parabolę y = x²+ 4x - 4, jednak do wykresu funkcji f należy część wykresu dla x ∈ <1; +∞) - patrz załącznik (część wykresu będąca wykresem funkcji f zaznaczono na czerwono)

Wykres funkcji $f(x) = x^2+|4x-4|$ - patrz załącznik - na rysunku zaznaczono kolorem czerwonym.

Zbiór wartości funkcji odczytujemy z jej wykresu i jest to zbiór:
$ZW_f = \{y \in R: y \geq 1, \ czyli \ y \in \langle 1; \ + \infty) \}$

Zad. 12
$ZW_f = \{y \in R: \ y \in \langle 0; \infty) \}$

a)
$f(x) = mx^2 +(2m+1)x +5m + 1 \\\\ a = m; \ b = 2m+1; \ c = 5m+1$

Dla m = 0 funkcja f ma postać:
$f(x) = 0 \cdot x^2 +(2 \cdot 0+1)x +5 \cdot 0 + 1 = x + 1$
Jest to funkcja liniowa, a jej zbiór wartości to zbiór liczb rzeczywistych, zatem warunek zadania nie jest spełniony, więc będziemy rozpatrywać przypadek dla m ≠ 0, czyli przypadek, gdy funkcja f jest funkcją kwadratową.

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f ma być przedział <0; + ∞), więc muszą być spełnione warunki:
$a > 0 \ i \ q = \frac{-\Delta}{4a} =0$

1. a > 0

a = m > 0

2. q = 0

$\Delta = (2m+1)^2 - 4 \cdot m \cdot (5m+1) = 4m^2 +4m+1 - 20m^2 - 4m = \\\ =-16m^2 +1 \\\\ q = \frac{-(-16m^2 +1)}{4 \cdot m} = \frac{16m^2-1}{4m} \\\\ \frac{16m^2-1}{4m} = 0 \ / \cdot 4m \ (mno\.znie \ wykonalne, \ bo \ m \neq 0) \\\\ 16m^2-1 = 0 \\\ (4m -1)(4m+1) = 0 \\\ 4m - 1 = 0 \ \vee \ 4m + 1 = 0 \\\\ 4m - 1 = 0 \\\ 4m = 1 \ / :4 \\\ m = \frac{1}{4} \\\\ 4m + 1 = 0 \\\ 4m = -1 \ / :4 \\\ m = -\frac{1}{4}<span>$

Uwzględniając oba warunki otrzymujemy, że zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział <0; + ∞), jeśli
$m = \frac{1}{4}$

b)
$f(x) = (m-1)x^2 +(3m-1)x +3m \\\\ a = m - 1; \ b = 3m-1; \ c = 3m$

Najpierw sprawdzimy przypadek, gdy funkcja f nie jest funkcją kwadratową, czyli dla a = 0, czyli dla:
m - 1 = 0
m = 1
i wtedy funkcja f ma postać:
$f(x) = (1-1)x^2 +(3 \cdot 1-1)x +3 \cdot 1 = 2x + 3$
Jest to funkcja liniowa, a jej zbiór wartości to zbiór liczb rzeczywistych, zatem warunek zadania nie jest spełniony, więc będziemy rozpatrywać przypadek dla m ≠ 1, czyli przypadek, gdy funkcja f jest funkcją kwadratową.

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f ma być przedział <0; + ∞), więc muszą być spełnione warunki:
$a > 0 \ i \ q = \frac{-\Delta}{4a} =0$

1. a > 0

a = m - 1
m - 1 > 0
m > 1

2. q = 0

$f(x) = (m-1)x^2 +(3m-1)x +3m \\\\ \Deta = (3m-1)^2 - 4 \cdot (m-1) \cdot 3m = 9m^2-6m+1 - 12m^2+12m = \\\ =-3m^2+6m +1 \\\\ q = \frac{-(-3m^2+6m +1)}{4 \cdot (m-1)} = \frac{3m^2-6m -1}{4m-4} \\\\ \frac{3m^2-6m -1}{4m} = 0 \ / \cdot (4m-4) \ (mno\.znie \ wykonalne, \ bo \ m \neq 1) \\\\ 3m^2-6m -1 = 0 \\\ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 36 +12 = 48 \\\\ m_1 = \frac{6 - \sqrt{48}}{2 \cdot 3}= \frac{6 - \sqrt{16 \cdot 3}}{6} =\frac{6 - 4\sqrt{3}}{6} = 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx - 0,15$

$m_2 = \frac{6+ \sqrt{48}}{2 \cdot 3}= \frac{6 +\sqrt{16 \cdot 3}}{6} =\frac{6+4\sqrt{3}}{6} = 1+\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 2,15$

Uwzględniając oba warunki otrzymujemy, że zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział <0; + ∞) jeśli:
$m = 1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Zad. 13
$f(x) = (2m-1)x^2 - \sqrt{2} m -m+6 \\\\ a = 2m - 1; \ b = 0; \ c = - \sqrt{2} m -m+6<span>$

$f_{max} > 0$

Najpierw sprawdzimy przypadek, gdy funkcja f nie jest funkcją kwadratową, czyli dla a = 0, czyli dla:
$2m-1 = 0 \\\ 2m = 1 \ /:2 \\\ m = \frac{1}{2}$
i wtedy funkcja f ma postać:
$f(x) = (2 \cdot \frac{1}{2} -1)x^2 - \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2}+6 =5\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 4,79$
Jest to funkcja stała, która posiada zarówno wartość najwyższą jak i najniższą, zatem warunek zadania jest spełniony dla:
$m = \frac{1}{2}$

Rozpatrujemy przypadek dla $m \neq \frac{1}{2}$ , czyli przypadek, gdy funkcja f jest funkcją kwadratową.

Funkcja ma przyjmować wartość największą, więc jej ramiona muszą być skierowane w dół, czyli a < 0. Ponadto, ta wartość, która jest równa drugiej współrzędnej wierzchołka paraboli q ( $q =
\frac{-\Delta}{4a}$ ), ma być liczbą dodatnia, czyli q > 0.

Zatem muszą być spełnione warunki:
$a < 0 \ i \ q = \frac{-\Delta}{4a} >0$

1. a < 0
$2m-1 < 0 \\\
2m < 1 \ /:2 \\\
m < \frac{1}{2}$

2. q > 0
$\Delta = 0^2 - 4 \cdot (2m-1)(- \sqrt{2} m -m+6) = - 4 \cdot (2m-1) \cdot \\\ \cdot (- \sqrt{2} m -m+6) \\\\ \frac{-(- 4 \cdot (2m-1) \cdot (- \sqrt{2} m -m+6) )}{4 \cdot (2m-1)} > 0 \\\\ \frac{4 \cdot (2m-1) \cdot (- \sqrt{2} m -m+6) )}{4 \cdot (2m-1)} > 0 \\\\ - \sqrt{2} m -m+6 > 0 \cdot (-1) \\\\ \sqrt{2} m+m-6 < 0 \\\\ (\sqrt{2}+1) \cdot m< 6 \ / :(\sqrt{2}+1) \\\\ m < \frac{6}{\sqrt{2}+1} \\\\ m < \frac{6 \cdot (\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$
$m < \frac{6\sqrt{2}-6}{2 - 1} \\\\ m < 6\sqrt{2}-6 \approx 2,49$

Uwzględniając oba warunki oraz wcześniejsze ustalenie w przypadku, gdy funkcja nie jest funkcją kwadratową, otrzymujemy, że największa wartości funkcji kwadratowej f jest liczbą dodatnią dla:
$m \leq \frac{1}{2}, \ czyli \ dla \ m \in (- \infty; \ \frac{1}{2} \rangle$

1 votes Thanks 1