Zad. 18 str. 105 z.z.Naszkicuj wykres funkcji f. {x+4 dla x -1f(x) = {-2x+3 dla -1<x.... Question from @marcinasdd

November 2018 1 9 Report

Zad. 18 str. 105 z.z.
Naszkicuj wykres funkcji f.
{x+4 dla x $\leq$ -1
f(x) = {-2x+3 dla -1<x<1
{-x+4 dla x $\geq$ 1
a) Ile rozwiązań ma równanie $f(x) = \frac{\sqrt(2)}{2}$ ?
b) Oblicz $f(\sqrt(2)-3) + f(\sqrt(2)-1) + f(\sqrt(2)+1)$ .

zad.19 str. 105 z.z.
Narysuj wykresy odpowiednich funkcji i odczytaj z nich zbiór rozwiązań nierówności.
a) $\sqrt(x+4) -2 < x$
b) $\sqrt(x-2) +1 \leq \frac{1}{2}x$
c) $\sqrt(x+7) -5 \geq -|x|$

Roma Zad. 18
$\begin{cases} x+4 \ dla \ x \leq-1\\-2x+3 \ dla \ -1<x<1\\-x+4 \ dla \ x \geq 1 \end{cases}$

Wykres funkcji dla x ≤ - 1, czyli dla x ∈ (- ∞; - 1> to półprosta y = x+ 4 o początku w punkcie (- 1; 3) i przechodząca np. przez punkt (- 4; 0), dla - 1 < x < 1, czyli dla x ∈ (- 1; 1) to odcinek należący do prostej y = - 2x + 3 bez końców w punktach (- 1; 5) i (1; 1), a dla x ≥ 1 to półprosta y = - x + 4 o początku w punkcie (1; 3) i przechodząca np. przez punkt (4; 0) - patrz załącznik Rys. 1

a)
$f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\underline{dla \ x \leq-1, \ czyli \ dla \ x \in(-\infty; \ - 1 \rangle} \\\\
x+4 =\frac{\sqrt{2}}{2} \\\
x=\frac{\sqrt{2}}{2} -4\\\
x=\frac{\sqrt{2}- 8}{2} \approx -3,29 \in (-\infty; \ - 1 \rangle$

$\underline{dla \ -1 < x < 1, \ czyli \ dla \ x \in(-1; \ 1)} \\\ -2x+3=\frac{\sqrt{2}}{2} \\\ -2x=\frac{\sqrt{2}}{2} -3\\\ -2x=\frac{-6+\sqrt{2}}{2} \ /:(-2)\\\ x=\frac{6-\sqrt{2}}{4} \approx 1.15 \notin (-1; \ 1)$

$\underline{dla \ x \geq 1, \ czyli \ dla \ x \in \langle 1; \ +\infty)} \\\\
-x+4=\frac{\sqrt{2}}{2} \\\
-x=\frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \\\
-x=\frac{- 8 +\sqrt{2}}{2} \ / \cdot (-1)\\\
x=\frac{8-\sqrt{2}}{2} \approx 3,29 \in \langle 1; \ +\infty)$

Zatem równanie $f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ma 2 rozwiązania.

Ilość rozwiązań równania $f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ możemy również odczytać z wykresu (patrz załącznik - Rys.2).
Wykresem funkcji $f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ jest prosta $y= \frac{\sqrt{2}}{2}$ , równoległa do osi OX i przecinająca oś OY w punkcie $(0; \ \frac{\sqrt{2}}{2})$ . Ta prosta ma dwa punkty wspólne z wykresem funkcji określonej w zadaniu: $(\frac{\sqrt{2}-8}{2}; \ \frac{\sqrt{2}}{2}) \ i \ (\frac{8-\sqrt{2}}{2}; \ \frac{\sqrt{2}}{2})$ , zatem równanie $f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ma 2 rozwiązania.

b)
$f(\sqrt{2}-3) + f(\sqrt{2}-1) + f(\sqrt{2}+1)$

$\underline{f(\sqrt{2}-3)} \\\\
x =\sqrt{2}-3 \approx -1,59 \in (-\infty; \ - 1 \rangle, \ czyli \\\
f(x) = x+4, \ zatem: \\\
f(\sqrt{2}-3) = \sqrt{2}-3+4 = \sqrt{2}+1$

$\underline{f(\sqrt{2}-1)}
 \\\\ x =\sqrt{2}-1 \approx 0,41 \in (-1; \ 1), \ czyli \\\ f(x) = 
-2x+3, \ zatem: \\\ f(\sqrt{2}-1) = -2 \cdot (\sqrt{2}-1)+3 = 
-2\sqrt{2}+2+3 = -2\sqrt{2}+5$

$\underline{f(\sqrt{2}+1)}
 \\\\ x =\sqrt{2}+1 \approx 2,41 \in \langle 1; \ + \infty), \ czyli \\\
 f(x) = -x+4, \ zatem: \\\ f(\sqrt{2}+1) = -(\sqrt{2}+1)+4 = 
-\sqrt{2}-1+4 = -\sqrt{2}+3$

Stąd otrzymujemy:
$f(\sqrt{2}-3) + f(\sqrt{2}-1) + f(\sqrt{2}+1) = \sqrt{2}+1-2\sqrt{2}+5-\sqrt{2}+ \\\\
+3 =-2\sqrt{2}+9$

Zad. 19
a)
$\sqrt{x+4} -2 < x$

Rysujemy wykresy funkcji (patrz załącznik):
$y = \sqrt{x+4} -2 \ i \ y = x$

Wykres funkcji $y = \sqrt{x+4} -2$ otrzymujemy przesuwając wykres $y = \sqrt{x}$ o wektor [- 4; - 2], czyli przesuwamy go o 4 jednostki w lewo wzdłuż osi OX i o 2 jednostki w dół wzdłuż osi OY.

Wykres funkcji $y = x$ to prosta przechodząca przez początek układu i np. punkt (1; 1).

Na podstawie wykresu stwierdzamy, że wartości funkcji $y = \sqrt{x+4} -2$ są mniejsze od wartości funkcji $y = x$ dla:
$x \in (0; \ +\infty)$

Zatem rozwiązaniem nierówności $\sqrt{x+4} -2 < x$ jest zbiór:
$x \in (0; \ +\infty)$

b)
$\sqrt{x-2} +1 \leq \frac{1}{2}x$

Rysujemy wykresy funkcji (patrz załącznik):
$y =\sqrt{x-2} +1 \ i \ y = \frac{1}{2}x$

Wykres funkcji $y = \sqrt{x-2} +1$ otrzymujemy przesuwając wykres $y = \sqrt{x}$ o wektor [2; 1], czyli przesuwamy go o 2 jednostki w prawo wzdłuż osi OX i o 1 jednostkę w górę wzdłuż osi OY.

Wykres funkcji $y = \frac{1}{2}x$ to prosta przechodząca przez początek układu i np. punkt (2; 1).

Na podstawie wykresu stwierdzamy, że wartości funkcji $y =\sqrt{x-2} +1$ są mniejsze lub równe wartościom funkcji $y = \frac{1}{2}x$ dla:
$x \in \{2\} \cup \langle6; \ +\infty)$

Zatem rozwiązaniem nierówności $\sqrt{x-2} +1 \leq \frac{1}{2}x$ jest zbiór:
$x \in \{2\} \cup \langle6; \ +\infty)$

c)
$\sqrt{x+7} -5 \geq -|x|$

Rysujemy wykresy funkcji (patrz załącznik):
$y =\sqrt{x+7} -5 \ i \ y =-|x|$

Wykres funkcji $y = \sqrt{x+7} -5$ otrzymujemy przesuwając wykres $y = \sqrt{x}$ o wektor [-7; -5], czyli przesuwamy go o 7 jednostek w lewo wzdłuż osi OX i o 5 jednostek w dół wzdłuż osi OY.

Wykres funkcji $y =-|x|$ otrzymujemy poprzez symetrię osiową względem osi OX wykresu funkcji $y =|x|$ .

Na podstawie wykresu stwierdzamy, że wartości funkcji $y =\sqrt{x+7} -5$ są większe lub równe wartościom funkcji $y =-|x|$ dla:
$x \in \langle-7; \ - 3 \rangle \cup \langle2; \ +\infty)$

Zatem rozwiązaniem nierówności $\sqrt{x+7} -5 \geq -|x|$ jest zbiór:
$x \in \langle-7; \ - 3 \rangle \cup \langle2; \ +\infty)$

1 votes Thanks 1