| 2x - 3 / x^2 - 1 | > lub rowne 2| 3x / x^2 - 4 | < lub rowne 1Bardzo proszę o pomoc.... Question from @Kevin18

Kevin18 @Kevin18

September 2018 1 37 Report

| 2x - 3 / x^2 - 1 | > lub rowne 2

| 3x / x^2 - 4 | < lub rowne 1

Bardzo proszę o pomoc..

Roma

$|\frac{2x-3}{x^2-1}| \geq 2$

$\frac{2x-3}{x^2-1} \geq 2 \ lub \ \frac{2x-3}{x^2-1} \leq -2$

$\frac{2x-3}{x^2-1} \geq 2$

$\frac{2x-3}{x^2-1} - 2 \geq 0$

$\frac{2x-3}{x^2-1} - \frac{2 \cdot (x^2-1)}{x^2-1} \geq 0$

$\frac{2x-3 - 2 \cdot (x^2-1)}{x^2-1} \geq 0$

$\frac{2x-3 - 2x^2+2}{x^2-1} \geq 0$

$\frac{ - 2x^2+2x-1}{x^2-1} \geq 0$

Jest to nierówność wymierna, więc możemy ją przekształcić równoważnościowo z dodatkowym założeniem, że

x²-1 ≠ 0

(x - 1)(x + 1) ≠ 0

x - 1 ≠ 0 i x + 1 ≠ 0

x ≠ 1 i x ≠ - 1

na:

$(- 2x^2+2x-1)(x^2-1) \geq 0$

Znajdujemy miejsca zerowe:

$(- 2x^2+2x-1)(x^2-1) = 0$

$(- 2x^2+2x-1)(x-1)(x+1) = 0$

$- 2x^2+2x-1 = 0 \vee x-1 = 0 \vee x+1=0$

$- 2x^2+2x-1 = 0$

$\Delta = 2^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (- 1) = 4 - 8 = - 4 < 0$

równanie nie ma rozwiązań

$x-1 = 0$

$x =1$

$x+1=0$

$x = - 1$

Zaznaczamy miejsca zerowe - 1 i 1 na osi. Rysujemy przybliżony wykres zaczynając od prawej strony od dołu, bo a = - 2 < 0. Wykres przecina oś OX w miejscach zerowych, bo pierwiastki są 1-krotne (patrz załącznik).

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności wymiernej pamiętając o założeniu, że x ≠ - 1 i x ≠ 1. Zatem: $x \in (-1; \ 1)$

$\frac{2x-3}{x^2-1} \leq -2$

$\frac{2x-3}{x^2-1} + 2 \leq 0$

$\frac{2x-3}{x^2-1} + \frac{2 \cdot (x^2-1)}{x^2-1} \leq 0$

$\frac{2x-3 + 2 \cdot (x^2-1)}{x^2-1} \leq 0$

$\frac{2x-3 + 2x^2 - 2}{x^2-1} \leq 0$

$\frac{2x^2+2x-5}{x^2-1} \leq 0$

Jest to nierówność wymierna, więc możemy ją przekształcić równoważnościowo z dodatkowym założeniem, że

x²-1 ≠ 0

(x - 1)(x + 1) ≠ 0

x - 1 ≠ 0 i x + 1 ≠ 0

x ≠ 1 i x ≠ - 1

na:

$(2x^2+2x-5)(x^2-1) \leq 0$

Znajdujemy miejsca zerowe:

$(2x^2+2x-5)(x^2-1) = 0$

$(2x^2+2x-5)(x-1)(x+1) = 0$

$2x^2+2x-5 = 0 \vee x-1 = 0 \vee x+1=0$

$2x^2+2x-5 = 0$

$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (- 5) = 4 + 40 = 44$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{44} = \sqrt{4 \cdot 11} = 2\sqrt{11}$

$x_1 = \frac{-2-2\sqrt{11}}{2 \cdot 2}= \frac{-1-\sqrt{11}}{2} \approx -2,16$

$x_2 = \frac{-2+2\sqrt{11}}{2 \cdot 2}= \frac{-1+\sqrt{11}}{2} \approx 1,16$

$x-1 = 0$

$x =1$

$x+1=0$

$x = - 1$

Zaznaczamy miejsca zerowe $\frac{-1-\sqrt{11}}{2}; \ - 1; \ 1; \ \frac{-1+\sqrt{11}}{2}$ na osi. Rysujemy przybliżony wykres zaczynając od prawej strony od góry, bo a = 2 > 0. Wykres przecina oś OX w miejscach zerowych, bo pierwiastki są 1-krotne (patrz załącznik).

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności wymiernej pamiętając o założeniu, że x ≠ - 1 i x ≠ 1. Zatem:

$x \in \langle \frac{-1-\sqrt{11}}{2}; \ -1) \cup (1; \ \frac{-1+\sqrt{11}}{2} \rangle$

Ostateczny zbiór rozwiązań nierównosci: $|\frac{2x-3}{x^2-1}| \geq 2$ to suma otrzymanych rozwiązań. Zatem:

$x \in (-1; \ 1) \cup \langle \frac{-1-\sqrt{11}}{2}; \ -1) \cup (1; \ \frac{-1+\sqrt{11}}{2} \rangle$

co możemy również zapisać:

$x \in \langle \frac{-1-\sqrt{11}}{2}; \ \frac{-1+\sqrt{11}}{2} \rangle \backslash \{-1; \ 1\}$

$|\frac{3x}{x^2 - 4}| \leq 1$

$\frac{3x}{x^2 - 4} \leq 1 \ i \ |\frac{3x}{x^2 - 4}| \geq - 1$

$\frac{3x}{x^2 - 4} \leq 1$

$\frac{3x}{x^2 - 4} - 1 \leq 0$

$\frac{3x}{x^2 - 4} - \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4} \leq 0$

$\frac{3x- (x^2 - 4)}{x^2 - 4} \leq 0$

$\frac{3x- x^2 + 4}{x^2 - 4} \leq 0$

$\frac{- x^2 + 3x+ 4}{x^2 - 4} \leq 0$

Jest to nierówność wymierna, więc możemy ją przekształcić równoważnościowo z dodatkowym założeniem, że

x²- 4 ≠ 0

(x - 2)(x + 2) ≠ 0

x - 2 ≠ 0 i x + 2 ≠ 0

x ≠ 2 i x ≠ - 2

na:

$(- x^2 + 3x+ 4)(x^2 - 4) \leq 0$

Znajdujemy miejsca zerowe:

$(- x^2 + 3x+ 4)(x^2 - 4)= 0$

$(- x^2 + 3x+ 4)(x - 2)(x + 2) = 0$

$- x^2 + 3x+ 4 = 0 \vee x - 2 = 0 \vee x + 2 = 0$

$- x^2 + 3x+ 4 = 0$

$\Delta = 3^2 - 4 \cdot(- 1) \cdot 4 = 9 + 16 = 25$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{25}=5$

$x_1 = \frac{-3-5}{2 \cdot (-1)} = \frac{-8}{-2} = 4$

$x_2 = \frac{-3+5}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = -1$

$x - 2 = 0$

$x = 2$

$x + 2 = 0$

$x = - 2$

Zaznaczamy miejsca zerowe -2; - 1; 2 i 4 na osi. Rysujemy przybliżony wykres zaczynając od prawej strony od dołu, bo a = - 1 < 0. Wykres przecina oś OX w miejscach zerowych, bo pierwiastki są 1-krotne (patrz załącznik).

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności wymiernej pamiętając o założeniu, że x ≠ - 2 i x ≠ 2. Zatem:

$x \in (-\infty; - 2) \cup \langle 1; \ 2) \cup \langle 4; \ + \infty)$

$\frac{3x}{x^2 - 4} \geq -1$

$\frac{3x}{x^2 - 4} + 1 \geq 0$

$\frac{3x}{x^2 - 4} + \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4} \geq 0$

$\frac{3x+ (x^2 - 4)}{x^2 - 4} \geq 0$

$\frac{3x+ x^2 - 4}{x^2 - 4} \geq 0$

$\frac{x^2 + 3x - 4}{x^2 - 4} \geq 0$

Jest to nierówność wymierna, więc możemy ją przekształcić równoważnościowo z dodatkowym założeniem, że

x²- 4 ≠ 0

(x - 2)(x + 2) ≠ 0

x - 2 ≠ 0 i x + 2 ≠ 0

x ≠ 2 i x ≠ - 2

na:

$(x^2 + 3x - 4)(x^2 - 4) \geq 0$

Znajdujemy miejsca zerowe:

$(x^2 + 3x - 4)(x^2 - 4)= 0$

$(x^2 + 3x - 4)(x - 2)(x + 2) = 0$

$x^2 + 3x - 4 = 0 \vee x - 2 = 0 \vee x + 2 = 0$

$x^2 + 3x - 4 = 0$

$\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4) = 9 + 16 = 25$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{25}=5$

$x_1 = \frac{-3-5}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = - 4$

$x_2 = \frac{-3+5}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$

$x - 2 = 0$

$x = 2$

$x + 2 = 0$

$x = - 2$

Zaznaczamy miejsca zerowe - 4; - 2; 1 i 2 na osi. Rysujemy przybliżony wykres zaczynając od prawej strony od góry, bo a = 1 > 0. Wykres przecina oś OX w miejscach zerowych, bo pierwiastki są 1-krotne (patrz załącznik).

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności wymiernej pamiętając o założeniu, że x ≠ - 2 i x ≠ 2. Zatem:

$x \in (-\infty; - 4 \rangle \cup (-2; \ 1 \rangle \cup (2; \ + \infty)$