Question

Zbadaj przebieg zmienności funkcji:
f(x) = ( (x^2) - x - 2 ) / (x - 1)

Answer 1

F(x) = (x² - x - 2)/ (x - 1)

1) Dziedzina D = R \ { 1}
2) Granice
f(x) = [(x -1)² + x -3]/(x -1) = x -1 + (x -3)/(x -1) =
= x -1 + [1 - 3/x]/[ 1 -1/x]

lim x --> -∞ f(x) = - ∞
lim x --> + ∞ f(x) = + ∞
lim x --> 1- f(x) = + ∞
lim x --> 1+ f(x) = - ∞
Miejsca zerowe funkcji:
f(x) = 0 <=> x² - x - 2 = 0
Δ = 1 -4*1*(-2) = 1 + 8 = 9
√Δ = 3
x1 = [ 1 - 3]/2 = -2/2 = - 1
x2 = [ 1 + 3]/2 = 4/2 = 2
zatem wykres funkcji przecina oś OX w punktach:
A = ( -1; 0) , B = ( 2; 0)
Pochodna funkcji
f' (x) = [(2x -1)(x -1) -(x² -x -2)]/(x -1)² =
= [2x² -2x -x +1 - x² + x + 2] / (x - 1)² =
= ( x² - 2x + 3) / (x -1)²
Miejsca zerowe pochodnej :
f' (x ) = 0 <=> x² -2x + 3 = 0
Δ1 = 4 - 4*1*3 = 4 - 12 = - 8 < o
ponieważ a1 = 1 > 0 zatem funkcja f' nie ma miejsc zerowych
i dla x ∈ R \ { 1 } funkcja f'(x) > 0
Pochodna jest dodatnia w całej dziedzinie zatem funkcja f
rośnie w całej swojej dziedzinie:
dla x ∈ ( - ∞ ; 1) rośnie od - ∞ do + ∞
dla x ∈ ( 1 ; + ∞ ) rośnie od - ∞ do + ∞
f( 0 ) = [0² - 0 -2]/ ( 0 -1) = -2/ (-1) = 2
Punkt przecięcia wykresu z osią OY to C = ( 0; 2)
Asymptoty:
Pionowa o równaniu :
x = 1,
bo lim x--> 1- f (x) = + ∞
oraz lim x --> 1 + f(x) = - ∞
Ukośna
lim x --> + ∞ [ f(x)] /x = lim x --> + ∞ [ (x² -x -2)/(x(x -))] =
= lim x --> +∞ [ (x² -x -2)/( x² - x)] =
= lim x --> + ∞ [ 1 -1/x - 2/x²]/[1 - 1/x] = 1/1 = 1
a = 1
f(x) - x = (x² -x -2)/( x - 1) - [ x(x -1)]/(x - 1) =
= [x² - x -2 - x² + x]/ (x -1) = -2/ (x -1)
zatem lim x --> + ∞ [ f(x) - x] = lim x --> +∞ [ -2/( x -1)] = 0
b = 0
y = ax + b = 1*x + 0 = x
Asymptota ukośna ma równanie:
y = x

cdn koło północy.