Question

Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC, korzystając bezpośrednio z równania okręgu, jeśli: A(-2, 4), B(4, 6), C(6, 4).

Proszę o krótkie wyjaśnienie.

Answer 1

Wsółrzędne punktów A = (-2;4), B = (4;6) i C = (6;4) wstawiamy kolejno

do równania okręgu, np. w postaci:

(x -a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Otrzymamy

1) (-2 -a)^2 + (4 -b)^2 = r^2

2) (4 - a)^2 + (6 - b)^2 = r^2

3) (6- a)^2 = (4 - b)^2 = r^2

---------------------------------------

czyli

1) 4 + 4a + a^2 + 16 - 8b + b^2 = r^2

2) 16 - 8a +a^2 + 36 - 12b +b^2 = r^2

3) 36 - 12a + a^2 +16 - 8b +b^2 = r^2

----------------------------------------------

1) a^2 +4a + b^2 -8b + 20 = r^2

2) a^2 - 8a +b^2 -12b +52 = r^2

3) a^2 -12a +b^2 -8b +52 = r^2

------------------------------------------

Od równania 2) odejmujemy 3)

4a - 4b = 0

4a = 4b

a = b

Wstawiamy a  za b

1) 2a^2 - 4a + 20 = r^2

2) 2a^2 -20a + 52 = r^2

Odejmujemy stronami

16a - 32 = 0

16a = 32 /  : 16

a = 2 , zatem b = a = 2

r^2 = 2*2^2 - 4*2 + 20 = 8 - 8 + 20 = 20

czyli po podstawieniu 2 za a oraz  b   i  20 za  r^2  otrzymamy

Odp.

(x -2)^2 + (y - 2)^2 = 20

====================================================