Question

Wiedząc że liczba x jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych udowodnij, że liczba x^2 też jest suma dwóch liczb całkowitych

Answer 1

A, b - liczby całkowite

Wiemy, że . Zatem: .

x² jest sumą liczb (a²+2ab) oraz b².

Answer 2

X=a+b
możemy udowodnić, że x² jest sumą dwóch liczb całkowitych w taki sposób
x=a+b, więc
x²=(a+b)²
x²=a²+2ab+b², mamy tutaj 3 liczby całkowite, ale spokojnie, wyciągamy a przed nawias
x²=a(a+2b)+b² - to jest suma dwóch liczb całkowitych, gdyż:
wiemy, że dla dowolnych dwóch liczb całkowitych ich iloczyn będzie liczbą całkowitą, co zapisujemy kwantyfikatorami
∧(a,b∈C, (a+2b)∈C) ⇒ ∧(a,b∈C), a(a+2b)∈C i ∧(b∈C, b²∈C), więc
∧(a,b∈C, a(a+2b)∈C), więc jeśli x²=a(a+2b)+b², wtedy x²∈C, c.n.d.