Question

Udowodnij, że jeśli 5n^2 + 1 jest podzielne przez 6 to ułamki n/2 i n/3 są nieskracalne

Answer 1

Żeby ułamek n/2 był nieskracalny, n nie może być podzielne przez 2.
Żeby ułamek n/3 był nieskracalny, n nie może być podzielne przez 3.
Wniosek: n musi być niepodzielne przez 2 i 3.

5n²+1 jest podzielne przez 6, co oznacza, że jest podzielne przez 2 i 3.
Skoro 5n²+1 jest podzielne przez 2, 5n² musi być niepodzielne przez 2 (bo liczba podzielna przez 2 dodać 1 daje liczbę niepodzielną przez 2).
Skoro 5n²+1 jest podzielne przez 3, 5n² musi być niepodzielne przez 3 (bo liczba podzielna przez 3 dodać 1 daje liczbę niepodzielną przez 3).
Skoro 5n² jest niepodzielne przez 2 i 3, n² musi być niepodzielne przez 2 i 3 (bo gdyby było, można by je zapisać jako 2∙3∙k, k ∈ C, więc liczba 5n²=5∙2∙3∙k, która też byłaby podzielna przez 2 i 3).
Skoro n² jest niepodzielne przez 2 i 3, n musi być niepodzielne przez 2 i 3 (bo gdyby było, można by je było zapisać jako 2∙3∙k, k ∈ C, a wtedy n²=(2∙3∙k)²=2∙2∙3∙3∙k², więc n² byłoby podzielne przez 2 i 3).
Wniosek: n jest niepodzielne przez 2 i 3, a więc ułamki n/2 i n/3 są nieskracalne.