Question

Siódmy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 21, a suma siedmiu pierwszych wyrazów tego ciągu wynosi 105. Oblicz:
a) pierwszy wyraz ciągu (a1)
b) różnicę ciągu( r)
c) ile wyrazów tego ciągu należy dodać aby suma wynosiła 273?

Answer 1

A policzysz ze wzoru na sumę:
Sn=[a(1)+a(n)]*n/2
jako n podstawiasz 7, bo masz podaną sumę do siódmego wyrazu
po podstawieniu:

105=[a(1)+21]*7/2
105=[a(1)+21]*3,5
30=a(1)+21
a(1)=9

ze wzoru ogólnego:
a(n)=a(1)+r(n-1)
21=9+r(7-1)
12=6r
r=2

ostatnie znowu ze wzoru na sumę:

[9+(9+2*(n-1)]n/2=273
(9+9+2n-2)n/2=273
(16+2n)*n=546
16n+2n²=546
n²+8n-273=0

Δ=1156=34²
n1=(-8+34)/2=13
n2=(-8-34)/2=-21

ale n2<0, więc trzeba je odrzucić, bo n w ciągu nalezy do liczb naturalnych

Answer 2

Siódmy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 21, a suma siedmiu pierwszych wyrazów tego ciągu wynosi 105. Oblicz:

a7=21
S7=105


a) pierwszy wyraz ciągu (a1)
S7=(a1+a7)*7/2
105=(21+a1)*7/2
210=147+7*a1
7*a1=210-147
7*a1=63
a1=9
b) różnicę ciągu( r)
a7=a1+6r
21=9+6r
6r=21-9
6r=12
r=2
c) ile wyrazów tego ciągu należy dodać aby suma wynosiła 273?
n=?
Sn=273
Sn=(2a1+(n-1)*r)*n/2
273=(18+2n-2)*n/2
546=16n+2n² /:2
n²+8n-273=0 i n∈N+
Δ=64+1092=1156
√Δ=34
n=13

Answer 3

A7=21
S7=105
Siódmy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 21, a suma siedmiu pierwszych wyrazów tego ciągu wynosi 105. Oblicz:
a) pierwszy wyraz ciągu (a1)
b) różnicę ciągu( r)
c) ile wyrazów tego ciągu należy dodać aby suma wynosiła 273?

a)
a₇=21
S₇=105

S₇=(a₁+a₇)*7/2
(a₁+21)*7/2=105 /*2
7(a₁+21)=210
7a₁+147=210
7a₁=210-147
7a₁=63 /:7
a₁=9

b)
a₇=21
a₁=9
a₇=a₁+6r=21
a₁+6r=21
9+6r=21
6r=21-9
6r=12 /:6
r=2

c)
Sn=273
n=?
Sn=(a₁+an)*n/2
an=a₁+(n-1)r=9+(n-1)*2=9+2n-2=2n+7

Sn=(a₁+an)*n/2
Sn=(9+2n+7)*n/2
Sn=(16+2n)*n/2
Sn=2(8+n)n/2
Sn=8n+n²
Sn=273

8n+n²=273
n²+8n-273=0
Δ=64-4*(-273)=64+1092=1156
√Δ=34
n=(-8-34)/2=-42/2=-21 ale n>0 więc nie może być
n=(-8+34)/2=26/2=13

odp. n=13