Question

Środkowe w trójkącie równoramiennym mają długość 12,12 i 3 . Oblicz długości boków tego trójkąta.

Answer 1

Oznaczenia (patrz załącznik):

ΔABC - trójkąt rónoramienny

AB - podstaw trójkąta równoramiennego

BC, AC - ramiona trójkąta równoramiennego

CD, AE, BF - środkowe ΔABC

O - punkt przecięcia środkowych

 

|CD| = 3

|AE| = |BF| = 12

 

Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który dzieli (licząc od wierzchołka) każdą ze środkowych w stosunku 2  : 1.

Stąd:

|DO| = 1 · (3 : 3)  = 1 · 1 = 1

|BO| = 2 · (12 : 3) = 2 · 4 = 8

Z tw. Pitagorasa:

|BD|² + |DO|² = |BO|²

|BD|² = |BO|² - |DO|²

|BD|² = 8² - 1²

|BD|² = 64 - 1

|BD|² = 63

|BD| = √63

|BD| = √9·7

|BD| = 3√7

 

|BD| = |AD| = 3√7

|AB| = |AD| + |BD|

|AB| = 3√7+ 3√7

|AB| = 6·√7

 

Z tw. Pitagorasa:

|BC|² = |BD|² + |CD|²

|BC|² = (3√7)² + 3²

|BC|² = 63 + 9

|BC|² = 72

|BC| = √72

|BC| = √36·2

|BC| = 6√2

 

|BC| = |AC| = 6√2

 

Odp. Boki tórjkąta równoramiennego mają długość 6√7, 6√2, 6√2.