Question

Punkty A(0, -5) oraz D(-3, -1) są kolejnymi wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD, którego osią symetrii jest prosta k: x+2y=0. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C oraz pole tego trapezu.

Answer 1

Mamy A = (0; -5) , D = (-3; -1)

k :  x + 2y = 0

Zapiszemy prostą k w postaci kierunkowej

2y = - x

y = (-1/2) x

Szukamy teraz  2 proste prostopadłe do prostej k : y = (-1/2)x

oraz przecodzące przez punkty A  oraz D

a*a1 = - 1

(-1/2)*a1 = -1  ---> a1 = 2

czyli

y = 2x + b

Dla punktu A = (0; -5)  mamy

-5 = 2*0 + b

b = - 5

y = 2x - 5

========

Dla punktu D = (-3; -1) mamy

-1 = 2*(-3) + b

-1 = -6 = b

b = -1 + 6 = 5

y = 2x + 5

=========

Prosta y = 2x - 5  przechodzi przez podstawę AB, a prosta y = 2x + 5

przez podstawę CD tego trapezu równoramiennego.

Szukamy teraz punktów wspólnych tych prostych z prostą k:

y  = 2x - 5

y = (-1/2)x

----------------

2x -5 = (-1/2)x

2,5 x = 5

x = 2

y = 2*2 - 5 = -1

S1 = (2; -1)

===========

y = 2x + 5

y = (-1/2)x

----------------

2x + 5 = (-1/2)x

2,5x = -5

x = -2

y = 2*(-2) + 5 = -4 =5 = 1

S2 = (-2; 1)

============

Szukamy teraz punktów symetrycznych względem prostej k do punktów

A = (0; -5)  oraz  D = (-3; -1)

A' = B = (a,b)

S1 jest środkiem odcinka AB zatem

[0 +a]/2 = 2   oraz  [ -5 + b ]/2= -1

a = 4  oraz  -5 + b = -2 --> b = 3

czyli B = A' = (4; 3)

================

D' = C = (c;d)

S2  jest środkiem odcinka Cd zatem

[-3 +c]/2 = -2  oraz  [-1 +d]/2 = 1

-3 +c = -4     oraz   -1 +d = 2

c = -1  oraz   d = 3

czyli   C = D' = (-1; 3)

=======================

Pole trapezu

A = (0; -5), B = (4;3)

-->

AB = [4-0; 3 -(-5)] = [4; 8]

AB = p(4^2 + 8^2) = p(16 + 64) = p(80) = 4p(5)

c =(-1; 3), D = (-3; -1)

-->

CD = [-3-(-1); -1 - 3] = [-2; -4]

CD = p( (-2)^2 + (-4)^2) = p(4 +16) = p(20) = 2p(5)

wysokość trapezu h = S1S2

S1 = (2;-1), S2 = (-2;1)

--->

S1S2 = [-2 -2; 1-(-1)] = [ -4; 2]

S1S2 = p((-4)^2 + 2^2) = p(16 + 4) = p(20) = 2p(5)

h = 2p(5)

Pole P = 0,5*[AB + CD] *h

P = 0,5*[4p(5) + 2p(5)]*2p(5) = 6p(5)*p(5) = 6*5 = 30

P = 30 j^2

===============================================