Question

Prosta o równaniu x+3y-17=0 jest styczna do okregu o srodku w punkcie S=(-1,-4).

a)oblicz wspólrzedne punktu stycznosci danej prostej z tym okregiem

b)oblicz dlugosc promienia tego okregu

c)uzasadnij,ze prosta o rownaniu 9x+13y-89=0 jest styczna do teg okregu.

Answer 1

 

x + 3y - 17 = 0    oraz   S = ( -1 ; -4)

zatem

3y = - x  + 17

y = (-1/3) x + 17/3

====================

a) Należy poprowadzić prostą prostopadłą do danej przechodzącą przez  S

(-1/3)* a1 = - 1

a1 = 3

-------

y = 3 x + b1

-4 = 3*(-1) + b1

-4 = -3 + b1

b1 = -4 + 3 = - 1

zatem prosta prostopadła ma równanie

y = 3x  - 1

===========

Te dwie proste przecinają się w punkcie styczności

Mamy

(-1/3) x + 17/3 = 3x - 1  / * 3

-x + 17 = 9x - 3

10x = 17+3 = 20 / : 10

x = 2

y = 3*2 - 1 = 5

A = ( 2 ; 5)   - punkt styczności

============================

b) r = I AS I

zatem

r^2 = I AS I^2 = ( -1 -2 )^2 + (-4 - 5)^2 = (-3 )^2 + (-9)^2 = 9 + 81 = 90

zatem   r = p ( 90 ) = p( 9*10) = 3 p(10)

r = 3 p(10)

=============

p(10)  - pierwiastek kwadratowy z  10

----------------------------------------------------------------------------------------

c)

9x + 13 y - 89 = 0  - równanie prostej

(x +1)^2 + (y + 4)^2 = 90   - równanie okręgu

----------------------------

13y = -9x + 89 / : 13

y = (-9/13) x + 89/13

zatem

( x + 1)^2 + ( ( -9/13)x + 89/13 + 4)^2 = 90

x^2 + 2x + 1 + ( (-9/13)x + 141/13)^2 = 90

x^2 + 2x + 1 + (81/169) x^2 - (2538/169 ) x + 19 881/169 = 90

(250/169) x^2  - (2200/169 )x + 20 050/169 = 90 / * 169

250 x^2 - 2 200 x + 20 050 = 15 210

250 x^2 - 2 200 x + 4 840 = 0  / : 10

25 x^2 - 220 x + 484 = 0

delta = (-220)^2 - 4*25*484 = 48 400 - 48 400 = 0

Układ równań ma jedno rozwiązanie, zatem dana prosta jest styczna

do okręgu.

x = 220/ 50 = 4,4

y = ( -9/13)* (44/10) + 89/13 = -396/130 + 890/130 = 494/130 = 3,8

B = ( 4,4 ;  3,8 )  - punkt styczności

================================