Question

1) Punkty A=(3,2) i B=(6,-5) sa koncami srednicy kola k. Znajdz rownanie stycznej do kola k w punkcie A.

2) Proste o rownianiach y=2x+5 i y=x+3 zawieraja srednice okregu o, do ktorego nalezy punkt P=(3,2). Znajdz rownanie okregu o.

Answer 1

z.1

A = (3; 2), B = (6 ; -5)

S - środek odcinka ( średnicy ) AB i zarazem środek koła

S = ( (3 +6)/2 ; (2 - 5)/2 ) = ( 4,5 ; -1,5 )

Najpierw znajdziemy rownanie prostej AS zawierającej promień koła

y = ax + b

czyli

2 =3a + b

-1,5 = -4,5 a + b

--------------------  odejmujemy stronami

2 - (-1,5) = 3a - (-4,5) a

3,5 = 7,5 a

a = 3,5 : 7,5 = 7/15

b = 2 - 3a = 2 - 3*(7/15) = 2 - 7/5 = 10/5 - 7/5 = 3/5

y = (7/15) x + 3/5

===================

Teraz szukam równania prostej stycznej w punkcie A = (3 ; 2) do tego koła

Będzie to prosta prostopadła do pr AS i przechodząca przez punkt A:

(7/15)*a1 = - 1

a1 = - 15/7

y = ( -15/7)x + b1

2 = ( -15/7)*3 + b1

2 = -45/7 + b1

b1 = 2 + 45/7 = 14/7 + 45/7 = 59/7

Odp. y = (-15/7)*x + 59/7

==========================

z.2

y = 2x + 5

y = x + 3

Punktem wspólnym tych prostych jest środek okręgu S

2x + 5 = x + 3

2x - x = 3 - 5

x = - 2

=====

y = -2 + 3 = 1

================

zatem  S = (-2 ; 1)

r = I PS I, gdzie  P = (3 ; 2)

zatem

r^2 = I PS I^2 = (-2 -3)^2 + (1 - 2)^2 = (-5)^2 = (-1 )^2 = 25 + 1 = 26

Równanie okręgu:

( x - a)^2 + ( y - b)^2 = r^2 , gdzie  S = ( a;b)

zatem

( x +2)^2  + (y - 1)^2 = 26

==========================