Question

Podstawa AB równoramiennego trójkąta ABC tworzy z promieniem OA okręgu opisanego na tym trójkącie kąt α. Oblicz pole, obwód i kąty trójkąta, jeżeli ΙOAΙ= 30, a cos α= 0,6.


Wynik powinien wyjść 972, 36(√10+1), 37°, 71°30 min., 71°30 min.
W tym zadaniu trzeba zastosować funkcje trygonometryczne.
Daje najlepsze.
Pozdrawiam

Answer 1

AB - podstawa trójkąta równoramiennego ABC
AC, BC - ramiona trójkąta równoramiennego ABC
OA - promień okręgu opisanego trójkącie ABC
kąt α - kąt jaki tworzy podstawa AB z promieniem OA okręgu opisanego na trójkącie ABC
O - środek okręgu opisanego trójkącie ABC
D - spodek wysokości CD na podstawie AB
CD - wysokość trójkąta ABC
Obw - obwód trójkąta równoramiennego ABC
P - pole trójkąta równoramiennego ABC

ΙOAΙ = 30
cos α = 0,6

cos α = ½*|AB| / |OA|
0,6 = ½*|AB| / 30 /*30
⁶/₁₀ * 30 = ½*|AB|
½*|AB| = 18 /*2
|AB| = 36

|OA|² = (½*|AB|)² + |OD|²
30² = (½*36)² + |OD|²
900 = 18² + |OD|²
900 = 324 + |OD|²
|OD|² = 900 - 324
|OD|² = 576
|OD| = √576 = 24
|CD| = |OC| + |OD|
|CD| = 30 + 24 = 54

|AC|² = (½*|AB|)² + |CD|²
|AC|² = (½*36)² + 54²
|AC|² = 324 + 2916
|AC|² = 3240
|AC| = √3240 = √324*10 = 18√10
|AC| = |BC| = 18√10

Obw. = |AC| + |BC| + |AB|
Obw. = 18√10 + 18√10 + 36 = 36√10 + 36 = 36( √10 + 1)

P = ½*|AB|*|CD|
P = ½*36*54 = 972

tg <A = |CD| / ½*|AB|
tg <A = 54 / ½*36
tg <A = 54 / 18
tg <A = 3
<A ≈ 71°30'
<A = <B ≈ 71°30'
<C = 180° - 71°30' - 71°30'
<C = 180° - 143° = 37°

Odp. Pole trójkąta wynosi 972, jego obwód wynosi 36( √10 + 1), kąty wewnętrzne mają miary: 37°, 71°30' i 71°30'.