Question

PILNE! OBLICZ!
Dla jakiej wartości x liczby: log2, log(2^x-2), log(2^x+10) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

(^ - ten znak oznacza potęgowanie)

Z bzdury zgłaszam SPAM!

Answer 1

Ciąg arytmetyczny to taki, którego wyraz poprzedni różni się od następnego o stałą wartość, zwaną różnicą r. Czyli w naszym wypadku:
log(2^x-2) - log2 = log(2^x+10) - log(2^x-2) = r
przy założeniu 2^x - 2 > 0 oraz 2^x + 10 > 0 (druga nierówność jest zawsze dodatnia).
Różnica logarytmów jest logarytmem ilorazu:
log[(2^x-2)/2] = log[(2^x+10) /(2^x-2)]
Więc także wartości logarytmowane są sobie równe:
(2^x-2)/2 = (2^x+10) /(2^x-2)
Podstawiam:
t = 2^x
(t - 2) / 2 = (t + 10) / (t -2)
(t - 2)² = 2(t + 10)
t² - 4t + 4 - 2t - 20 = 0
t² - 6t - 16 = 0
Δ = 36 + 64 = 100
√Δ = 10
t₁=(6 - 10)/2 = -2
t₂=(6 + 10)/2 = 8
Ale 2^x > 0, więc t=2^x=8
2^x = 2³
x = 3
Oczywiście należy sprawdzić, czy jest spełnione:
2^x - 2 > 0
2³ - 2 = 6 > 0

Spr.
log 6 - log 2 = log 3
log 18 - log 6 = log 3
Czyli wyrazy tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej log3

Odp.
x = 3

Answer 2

Log(2^x-2) - log2 = log(2^x+10) - log(2^x-2) = r

zasada:
log[(2^x-2)/2] = log[(2^x+10) /(2^x-2)]

więc:
(2^x-2)/2 = (2^x+10) /(2^x-2)


t = 2^x
(t- 2) / 2 = (t+ 10) / (t-2)
(t- 2)² = 2(t+ 10)
t²- 4t+ 4- 2t- 20 = 0
t²- 6t- 16 = 0
Δ = 36+ 64 = 100
√Δ = 10
t₁=(6- 10)/2 = -2
t₂=(6+ 10)/2 = 8
Ale 2^x > 0, więc t=2^x=8
2^x = 2³
x = 3