Question

Pierwszy wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego (an) jest równy (-1). Wyraz drugi, trzeci i czwarty spełniają warunek: a3 - 2a4 = 8a2 + 4. Oblicz iloraz tego ciągu i określ czy jest on rosnący czy malejący.

Answer 1

a2=-q

a3=-q²

a4=-q³

 

-q²+2q³=-8q+4

2q³-q²+8q-4=0

q²(2q-1)+4(2q-1)=0

(2q-1)+(q²+4)=0

2q=1

q=1/2

 

an=-(1/2)^(n-1)

a_(n+1)=-(1/2)^n

-(1/2)^n+2*(1/2)^n= (1/2)^n >0  ciag {an} rosnacy

Answer 2

Pierwszy wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego (an) jest równy (-1). Wyraz drugi, trzeci i czwarty spełniają warunek: a3 - 2a4 = 8a2 + 4. Oblicz iloraz tego ciągu i określ czy jest on rosnący czy malejący.

 

a₁= -1      warunek: a₃ - 2a₄ = 8a₂ + 4

 

a₂= a₁ · q = -1 · q = -q

a₃= a₁ · q² = -1 · q² = -q²

a₄= a₁ · q³ = -1 · q³ = -q³

 

a₃ - 2a₄ = 8a₂ + 4

 

-q² - 2 · (-q³) = 8 · (-q) + 4

-q² + 2q³ = -8q + 4

2q³ - q² + 8q - 4 = 0

q² · ( 2q - 1 ) + 4 · ( 2q - 1 ) = 0

( 2q - 1 ) + ( q² + 4 ) = 0

2q - 1 = 0          q² + 4 jest zawsze liczbą dodatnią

2q = 1  /:2

q = ½

 

an = - (½) ^ ( n - 1 )

a (n+1) = -(½) ^ n

- (½) ^ n+2 · (½) ^ n = (½) ^ n > 0 jest to ciąg rosnący

 

Odp. Iloraz tego ciągu q = ½ i jest to ciąg rosnący.