Question

Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach A(-3,4) , B(0,0) , C(1,3).

Answer 1

Wzór na pole trójkąta w zapisie wektorowym

P=1/2*|w1*w2|

w - wektor boku = (xk-yk,yk-yp)

k koniec wektora

p początek wektora

 

bok AB

w1=(0+3,0-4)=(3,-4)

bok AC

w2=(1+3,3-4)=(4,-1)

 

P=1/2*|(3,4) x (4,-1)|= |((3*-1)-(4*-4))|/2=6,5

 

Lub tradycyjnie

P=a*h/2

a=|AB|= (3^2+(-4)^2)^(0,5)=5

 

h - wysokość z C na AB

równanie prostej przez AB

y=ax+b

a=y1/x1= -4/3

-4=(-4/3)*3+b

b=-4+4=0

y=-4/3x

Równanie prostej prostopadłej do AB przez C

C(1,3)

a1=-1/a= -1/(-4/3)=3/4

y=3/4x+b

3=3/4*1+b

b=3-3/4=9/4

y=3/4x+9/4

 

Punkt D przecięcia z AB

 

y=-4/3x

y=3/4x+9/4

-4/3x=3/4x+9/4

( 3/4+4/3)x=-9/4

 (25/12)x=-9/4

x= -27/25=-1,08 

y= (-4/3)*-1,08=1,44

D=(-1,08, 1,44)

C(1,3)

 

Pole trójkąta ABC

h= |CD|= ((-1,08-1)^2+(1,44-3)^2)^(0,5)=2,6

P= (5*2,6)/2=6,5