Question

A) Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej określonej wzorem f(x)= x² - mx - 5 jest pierwiastek równania 2x-3/x+1 = 7/. Oblicz najmniejszą wartość i największą wartość funkcji f w przedziale <1;6>.
b)Oblicz, dla jakiej wartości parametru m suma kwadratów miejsc zerowych funkcji kwadratowej f(x)= x² - (m-5)x + 2(3-m) jest najmniejsza.
c) Oblicz minimalną wartość wyrażenia a² + b², jeżeli spełniony jest warunek a + 2b = 1.

Answer 1

A)
f(x) = x² - m x - 5
(2x - 3) / (x + 1) = 7 , gdzie x ≠ - 1
---------------------------
2x - 3 = 7*(x +1)
2x - 3 = 7x + 7
7x - 2x = -3 - 7
5x = - 10 / : 5
x = -2 miejsce zerowe funkcji f
-----------
zatem f(-2) = 0
czyli (-2)² - m*(-2) - 5 = 0
4 + 2 m - 5 = 0
2m = 5- 4 = 1
m = 0,5
Mamy więc
f(x ) = x² - 0,5 x - 5
Przedział < 1 ; 6 >
a = 1 > 0 --> wierzchołek paraboli skierowany ku dołowi
p = -b/(2a) = 0,5 : 2 = 0,25 = 1/4 < 1
zatem f rośnie w < 1 ; 6>
f(1) = 1² -0,5*1 - 5 = -4,5 najmniejsza wartość f w < 1; 6 >
f(6) = 6² - 0,5*6 - 5 = 36 - 3 - 5 = 28 największa wartość f
w < 1; 6 >
=======================================================
b)
f(x) = x² - (m - 5) x + 2(3 - m )
Δ = [5 -m]² -4*1*(6 - 2m) = 25 - 10m + m² -24 +8m = m²-2m + 1
Δ = (m -1)² > 0
√Δ = m - 1
x1 = [m -5 - m + 1]/2 = -4/2 = -2
x2 = [m -5 +m - 1]/2 = [2m -6]/2 = m - 3
(x1)² + (x2)² = (-2)² + (m - 3)² = 4 + m² - 6m + 9 = m² -6m +13
Δ1 = (-6)² -4*1*13 = 36 - 52 = -16 < 0
Funkcja g(m) = m² - 6m + 13 nie ma miejsc zerowych, zatem
dla
p = 6/2 = 3 przyjmuje wartość najmniejszą
q = 3² -6*3 + 13 = 9 - 18 + 13 = 4
Suma kwadratów miejsc zerowych funkcji f jest najmniejsza dla
m = p = 3 i jest równa liczbie 4.
========================================================
c)
f(a, b) = a² + b² oraz a + 2b = 1 ---> a = 1 - 2b
zatem
f(a,b) = (1 - 2b)² + b² = 1 - 4b + 4b² + b² = 5b² - 4b + 1
5 > 0
oraz Δ = (-4)² - 4*5*1 = 16 - 20 = - 4 < 0
zatem funkcja nie ma miejsc zerowych - przyjmuje wartości
dodatnie.
Dla p = 4/(2*5) = 4/10 = 2/5 przyjmuje najmniejszą wartość
q = 5*(2/5)² - 4*(2/5) + 1 = 5*(4/25) - 8/5 + 1 =
= 4/5 - 8/5 + 5/5 = 9/5 - 8/5 = 1/5 = 0,2
=========================================