Question

a) Oblicz dla jakiej wartości parametru m równanie (m-3)x² + (m-2)x +1=0 ma wspólny pierwiastek z równaniem mx=3=0.

b)Określ liczbę pierwiastków równania (m-1)x² - (m+1)x+m+1=0 w zalezności od wartości parametru m.

c)Oblicz dla jakich wartości p i q pierwiastki równania z niewiadomoą x

x²+(1-p)x-q-3=0 są równe liczbom p i q.

d) Oblicz dla jakich wartości parametru m obydwa pierwiastki równania x²-2mx+m²-1=0 należą do przedziału (-2; 4).

Answer 1

a)

(m -3) x² + ( m -2) x + 1

mx + 3 = 0

-----------------

mx + 3 = 0 ---> mx = - 3

x = -3/m  , dla m ≠ 0

========

Δ =(m -2)² - 4(m -3)*1 = m² -4m + 4 -  4 m +12 = m² - 8m +16

Δ = (m - 4)²

I przypadek dla m ≥ 4

√Δ = m -4

x1 = [2 -m + m -4]/[2(m -3)] = -2/[2(m -3)] = -1/(m -3)

x1 = -1/(m -3)

==========

x2 = [2 - m -m +4]/[2(m -3)] = [-2m +6]/[2(m-3)] = (-m+3)/(m -3) = - 1

x2 = - 1

======

Mamy

-3/m = x1  lub  -3/m = x2

1) -3/m = -1/(m -3) --> 3/m = 1/(m -3)

3(m-3) = m

3m - 9 = m

2m = 9

m = 4,5 > 4, czyli dla  m = 4,5    mamy x = x1

=============

2) x = x2 = - 1

-3/m = -1 -->  m = 3 < 4   -- odpada

================================

II przypadek   m < 4

√Δ = 4 - m

x1 = [2-m + 4 - m]/[2(m -3)] = [ -2m + 6]/[2(m -3)] = - 1

x1 = - 1

=======

x2 = [ 2 -m - 4 +m]/[2(m -3)] =  -2/[2(m-3)] = -1/(m -3)

x2 = -1/(m-3)

============

x = x1

-3/m = -1  --> m = 3 < 4 , czyli dla m = 3  mamy x = x1

x = x2

-3/m = -1/(m -3)  ----> 3/m = 1/(m -3)

3(m -3) = m

3m - 9 = m

2m = 9 / :2

m = 4,5 > 4  - odpada

=======================

Odp. Dla m = 3 lub m = 4,5 jeden z pierwiastków  danego równania

ma wspólny pierwiastek z równaniem

mx + 3 = 0

============================================================

b)

(m -1) x² - (m +1) x + m +1 = 0

Okreśiic liczbę pierwiastków równania w zależności od parametru m.

Δ = [ -(m +1)]² - 4(m-1)(m +1) = m² + 2m + 1 -4(m² - 1) =

= m² + 2m + 1 - 4m² + 4 = -3 m² + 2m + 5

Δ = - 3 m² + 2 m + 5

===================

Przypadek I :  Δ < 0    - wtedy brak pierwiastków

-3 m² + 2m + 5 < 0

Δ1 = 4 -4(-3)*5 = 4 + 60 = 64

√Δ1 = 8

m1 = [-2 +8]/(-6) = 6/(-6) = -1

m2 = [-2 -8]/(-6) = -10/(-6) = 5/3

Współczynnik  - 3 < 0  zatem

Δ < 0  dla  m ∈ ( -∞ ; -1) u ) 5/3 ; + ∞ )

Przypadek II

Δ = 0  dla m = -1  lub  m = 5/3

I pierwiastek

Przypadek III

Δ > 0 dla  m ∈ ( -1 ; 5/3)

2 pierwiastki

Odp. Dla m ∈ ( -∞ ; -1) u ( 5/3 ; + ∞ )  funkcja nie ma pierwiastków;

dla m = -1  lub  m = 5/3  funkcja ma jeden pierwiastek;

dla m ∈ ( -1 ; 5/3)   funkcja ma dwa pierwiastki.

======================================================

c)

x² + ( 1 -p) x - q - 3 = 0

Dla jakich wartości p  oraz q  pierwiastki tego równania śą równe p  oraz q ?

Korzystamy z wzorów Viete'a

Mamy

x1 + x2 = - b/a  oraz x1*x2 = c/a

zatem

p + q = [p -1]/1 = p -1 --> q = -1

p*q = [-q -3/1

p*(-1)= [ 1 -3]

-p = -2 --> p = 2

Odp. Dla  p = 2  oraz q = -1 pierwiastki tego równania są równe p oraz q.

=============================================================

d) x² - 2m x + m² - 1 = 0

Dla  jakich wartości parametru m  oba pierwiastki równania należą

do przedziału ( -2 ; 4) ?

Δ = 4m² -4*1*(m² -1) = 1

x1 = [2m -1]/2  oraz  x2 = [2m + 1]/2

------------------------------------------------

czyli  [2m -1]/2 > -2   i  [2m -1]/2 < 4

2m -1 > -4  i  2m -1 < 8

2m > -3  i 2m < 9

m > -1,5   i  m < 4,5

======================

oraz

[2m +1]/2 > -2   i  [2m + 1]/2 < 4

2m +1 > -4  i  2m +1 < 8

2m > -5   i   2m < 7

m > -2,5  i  m < 3,5

======================

zatem

Odp.  m ∈ ( -1,5 ;  3,5)

==========================