a) Oblicz dla jakiej wartości parametru m równanie (m-3)x² + (m-2)x +1=0 ma wspólny pierwiastek z równaniem mx=3=0.
b)Określ liczbę pierwiastków równania (m-1)x² - (m+1)x+m+1=0 w zalezności od wartości parametru m.
c)Oblicz dla jakich wartości p i q pierwiastki równania z niewiadomoą x
x²+(1-p)x-q-3=0 są równe liczbom p i q.
d) Oblicz dla jakich wartości parametru m obydwa pierwiastki równania x²-2mx+m²-1=0 należą do przedziału (-2; 4).
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.
a)
(m -3) x² + ( m -2) x + 1
mx + 3 = 0
-----------------
mx + 3 = 0 ---> mx = - 3
x = -3/m , dla m ≠ 0
========
Δ =(m -2)² - 4(m -3)*1 = m² -4m + 4 - 4 m +12 = m² - 8m +16
Δ = (m - 4)²
I przypadek dla m ≥ 4
√Δ = m -4
x1 = [2 -m + m -4]/[2(m -3)] = -2/[2(m -3)] = -1/(m -3)
x1 = -1/(m -3)
==========
x2 = [2 - m -m +4]/[2(m -3)] = [-2m +6]/[2(m-3)] = (-m+3)/(m -3) = - 1
x2 = - 1
======
Mamy
-3/m = x1 lub -3/m = x2
1) -3/m = -1/(m -3) --> 3/m = 1/(m -3)
3(m-3) = m
3m - 9 = m
2m = 9
m = 4,5 > 4, czyli dla m = 4,5 mamy x = x1
=============
2) x = x2 = - 1
-3/m = -1 --> m = 3 < 4 -- odpada
================================
II przypadek m < 4
√Δ = 4 - m
x1 = [2-m + 4 - m]/[2(m -3)] = [ -2m + 6]/[2(m -3)] = - 1
x1 = - 1
=======
x2 = [ 2 -m - 4 +m]/[2(m -3)] = -2/[2(m-3)] = -1/(m -3)
x2 = -1/(m-3)
============
x = x1
-3/m = -1 --> m = 3 < 4 , czyli dla m = 3 mamy x = x1
x = x2
-3/m = -1/(m -3) ----> 3/m = 1/(m -3)
3(m -3) = m
3m - 9 = m
2m = 9 / :2
m = 4,5 > 4 - odpada
=======================
Odp. Dla m = 3 lub m = 4,5 jeden z pierwiastków danego równania
ma wspólny pierwiastek z równaniem
mx + 3 = 0
============================================================
b)
(m -1) x² - (m +1) x + m +1 = 0
Okreśiic liczbę pierwiastków równania w zależności od parametru m.
Δ = [ -(m +1)]² - 4(m-1)(m +1) = m² + 2m + 1 -4(m² - 1) =
= m² + 2m + 1 - 4m² + 4 = -3 m² + 2m + 5
Δ = - 3 m² + 2 m + 5
===================
Przypadek I : Δ < 0 - wtedy brak pierwiastków
-3 m² + 2m + 5 < 0
Δ1 = 4 -4(-3)*5 = 4 + 60 = 64
√Δ1 = 8
m1 = [-2 +8]/(-6) = 6/(-6) = -1
m2 = [-2 -8]/(-6) = -10/(-6) = 5/3
Współczynnik - 3 < 0 zatem
Δ < 0 dla m ∈ ( -∞ ; -1) u ) 5/3 ; + ∞ )
Przypadek II
Δ = 0 dla m = -1 lub m = 5/3
I pierwiastek
Przypadek III
Δ > 0 dla m ∈ ( -1 ; 5/3)
2 pierwiastki
Odp. Dla m ∈ ( -∞ ; -1) u ( 5/3 ; + ∞ ) funkcja nie ma pierwiastków;
dla m = -1 lub m = 5/3 funkcja ma jeden pierwiastek;
dla m ∈ ( -1 ; 5/3) funkcja ma dwa pierwiastki.
======================================================
c)
x² + ( 1 -p) x - q - 3 = 0
Dla jakich wartości p oraz q pierwiastki tego równania śą równe p oraz q ?
Korzystamy z wzorów Viete'a
Mamy
x1 + x2 = - b/a oraz x1*x2 = c/a
zatem
p + q = [p -1]/1 = p -1 --> q = -1
p*q = [-q -3/1
p*(-1)= [ 1 -3]
-p = -2 --> p = 2
Odp. Dla p = 2 oraz q = -1 pierwiastki tego równania są równe p oraz q.
=============================================================
d) x² - 2m x + m² - 1 = 0
Dla jakich wartości parametru m oba pierwiastki równania należą
do przedziału ( -2 ; 4) ?
Δ = 4m² -4*1*(m² -1) = 1
x1 = [2m -1]/2 oraz x2 = [2m + 1]/2
------------------------------------------------
czyli [2m -1]/2 > -2 i [2m -1]/2 < 4
2m -1 > -4 i 2m -1 < 8
2m > -3 i 2m < 9
m > -1,5 i m < 4,5
======================
oraz
[2m +1]/2 > -2 i [2m + 1]/2 < 4
2m +1 > -4 i 2m +1 < 8
2m > -5 i 2m < 7
m > -2,5 i m < 3,5
======================
zatem
Odp. m ∈ ( -1,5 ; 3,5)
==========================