Question

A) Oblicz, dla jakiego parametru m wartości funkcji kwadratowej określonej wzorem f(x)=mx²+mx+m+2 są dla każdego argumentu x większe od odpowiednich wartości funkcji liniowej określonej g(x)=(m-1)x+3.
b)Oblicz, dla jakich wartości parametru m wykresy funkcji określonych wzorami f(x)=2mx+1 i g(x)=(m-6)x²-2 mając co najmniej jeden punkt wspólny.
c) Funkcje f i g określone wzorami f(x)=mx²+2x+1 i g(x)=2x²-x+n mają wspólne dwa miejsca zerowe- wyznacz wartości parametru m i n oraz podaj czy zbiory wartości funkcji f i g są sobie równe.
d) Oblicz dla jakiej wartości parametru p zbiór wartości funkcji kwadratowej określonej wzorem g(x)=px²-2px+3 nie zawiera liczby 2.

Answer 1

A)
f(x) = mx² + mx + m +2
g(x) = ( m -1) x + 3
Dla jakich m zachodzi f(x) > g(x) dla każdego x ∈ R
Mamy
mx² + mx + m + 2 > (m - 1) x + 3
mx² + mx + m + 2 - mx + x - 3 > 0
mx² + x - 1 > 0
Δ = 1 - 4*m*(-1) = 1 + 4m
Aby zachodziła nierówność mx² + x -1 > 0 <=> Δ < 0
czyli 4m + 1 < 0
4m < -1
Odp.
m < - 1/4
=========================
b)
f(x) = 2m x + 1 oraz g(x) = (m - 6) x² - 2
mamy
2m x + 1 = (m - 6) x² - 2
(m - 6) x² - 2m x - 3 = 0
Δ = (-2m)² - 4*(m -6)(-3) = 4m² + 12 m - 72
Aby równanie miało co najmniej jedno rozwiązanie
musi być Δ ≥ 0
czyli 4m² + 12 m - 72 ≥ 0 / : 4
m² + 3 m - 18 ≥ 0
Δ1 = 3² - 4*1*(-18) = 9 + 72 = 81
√Δ1 = 9
m1 = [-3 - 9]/2 = - 6
m2 = [- 3 + 9]/2 = 3
Ponieważ 4 > 0 zatem ramiona paraboli będącej wykresem
funkcji h(x) = m² + 3m - 18 są zwrócone ku górze,
mamy więc
Odp. m ≤ - 6 lub m ≥ 3
=======================================
c)
f(x) = mx² + 2x + 1 oraz g(x) = 2 x² - x + n
f oraz g mają dwa wspólne miejsca zerowe
Δ1 = 4 - 4m = 4*(1 - m)
√Δ1 = 2√(1 -m)
x1 = [-2 -2√(1-m)]/2m = [-1 -√(1-m)]/m
x2 = [-1 + √(1-m)]/m
m ≤1
oraz
Δ2 = 1 - 4*2*n = 1 - 8n
√Δ2 = √(1 - 8n)
n ≤1/8
x3 = [1 - √(1 -8n)]/4
x4 = [ 1 + √(1 - 8n)]/4
Niech
x1 = x4 oraz x2 = x3
[-1 -√(1-m)]/m = [1 + √(1 -8n)]4
oraz [ -1 +√(1-m)]/m = [ 1 - √(1 - 8n)]/4
zatem mamy
-4 -4√(1-m) = m + m√(1 -8n)
-4 + 4√(1 -m) = m - m√(1 -8n) dodajemy stronami
-----------------------------------------------
-8 = 2m
m = - 4
=============
wstawiam do I równania
-4 - 4√(1+4) = -4 - 4√(1 -8n)
√5 = √(1 -8n)
1 -8n = 5
8n = 1 - 5 = -4 / : 8
n = -0,5
===============
mamy więc
f(x) = -4x² + 2x + 1 oraz g(x) = 2x² - x - 0,5
p1 = -2 / (-8) = 1/4 oraz p2 = 1/4
p1 = p2
q1 = -4*(1/4)² +2*(1/4) + 1 = -1/4 +2/4 + 4/4 = 5/4
oraz q2 = 2*(1/4)² - 1/4 - 1/2 = 1/8 -2/8 -4/8 = -5/8
-4 < 0
zatem Wf = ( -∞ ; 5/4 >
2 > 0
zatem Wg = < -5/8 ; +∞ )
Wf - zbiór wartości funkcji f
Wg - zbiór wartości funkcji g
Wf ≠ Wg
======================================
d)
g(x) = px² - 2p x + 3
W zbiorze Wg nie ma być liczby 2
Δ = (-2p)² -4*p*3 = 4p² - 12p = 4p(p -3)
yw = -Δ /(4p) = [4p(p-3)]/(4p) = [4p(3 -p)]/(4p) = 3 - p
zatem yw > 2 czyli 3 - p > 2 ---> p < 1
lub yw < 2 czyli 3 - p < 2 ---> p > 1
Odp. p ≠ 1
=====================================================