Question

Wyznacz wartości parametru m, dla których funkcja f przyjmuje tylko wartości ujemne.
f(x)= ( m²-1)x² + (m-1)x - m/4

Answer 1

Wyznacz wartości parametru m, dla których funkcja f przyjmuje tylko wartości ujemne.
f(x)= ( m²-1)x² + (m-1)x - m/4
a = m² -1
b = m -1
c = -m/4
Aby funkcja przyjmowała tylko wartości ujemne muszą zachodzić jednocześnie 3 warunki:
1) Δ > 0
2) x1*x2 > 0
3) x1 + x1 < 0

w 2) i 3) warunku stosujemy wzory Viete`a

1) b² -4*a*c > 0
2) c/a > 0
3) -b/a < 0

1) (m-1)² -4*(-m/4)*(m²-1) > 0
2) (-m/4):(m²-1) > 0
3) -(m-1): (m-1) < 0

1) m² -2m +1 + m³ -m > 0
2) (-m): (m²-1) > 0
3) -1 < 0 ( nierówność prawdziwa, ponieważ nie ma x to warunek ten pomijam)

1) m³ + m² -3m +1 > 0
2) -m(m-1)(m+1) > 0

Rozwiazuję 1) warunek
m³ + m² -3m +1 > 0
W(1) = 1³ +1² -3*1 +1 = 3 -3 = 0
Ponieważ W(1) = 0, to wielomian 3-go stopnia dzieli się bez reszty przez jednomian (m -1)

(m³ + m² -3m +1 ) : ( m -1) = m² +2m -1
-m³ + m²
-----------
= 2m² -3m +1
-2m²+ 2m
-----------------
= -m +1
+m -1
----------
= =
(m³ + m² -3m +1 ) = ( m -1) ( m² +2m -1) > 0
teraz obliczam pierwiastki z równania kwadratowego
m² +2m -1 = 0
Δ = 2² -4*1*(-1) = 4 +4 = 8
√Δ = √8 = √4*√2 = 2√2
m1 = (-2-2√2): 2*1 = -1 - √2
m2 = (-2+2√2): 2*1 = -1 +√2

Nierówność 3-go stopnia przedstawiam w postaci iloczynowej
(m³ + m² -3m +1 ) = ( m -1) ( m² +2m -1) = (m-1)[ m -(-1-√2)][m - (-1 +√2] > 0

(m-1)[ m -(-1-√2)][m - (-1 +√2] > 0
Teraz zaznaczam na osi liczbowej rozwiązanie nierówności
m =1
m = -1 - √2 ≈ -2,41
m = -1 + √2 ≈ 0,41

m ∈ ( -1 - √2; -1 + √2) ∨ ( 1, +∞)
Jest to zozwiazanie 1) warunku

Teraz rozwiazuję 2) warunek
2) -m(m-1)(m+1) > 0 /:(-1)
m ( m -1) ( m +1) < 0
zaznaczam pierwiastki na osi liczbowej i wyznaczam przedziały dla których nierówność jest spełniona
m = 0
m = -1
m = 1

m ∈ ( -∞; -1)∨ ( 0; 1)


teraz zaznaczam wspólna część 1) i 2) rozwiazania
1) m ∈ ( -1 - √2; -1 + √2) ∨ ( 1, +∞)
2) m ∈ ( -∞; -1)∨ ( 0; 1)

Ostatecznie mamy:
m ∈( -1 - √2; -1) ∨ ( 0; -1 + √2 )