Question

Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC gdy :

A(-5,-3)

B(-2,0)

C(-7,5)

Answer 1

Dane:

 

A = ( - 5, - 3)

B = ( - 2, 0)

C = ( - 7, 5)

 

(x - a)² + (y - b)² = r² ( * ) - równanie szukanego okręgu

 

S = (a , b) - środek okręgu,

r - promień okręgu

 

a = ?

b= ?

r = ?

 

Z warunków zadania wiemy, źe do tego okręgu nalezą punkty:

 

A = ( - 5, - 3)

 

więc:

 

[( - 5) - a]² + (- 3 - b)² = r²   ( za x wstawimy - 5 , za y - 3)

 

[ - (5 + a)]² + [ - (3 + b)]² = r²  

 

(5 + a)² + (3 + b)² = r²  ( 1 )

 

B = ( - 2, 0)

 

więc:

 

[( - 2) - a]² + (0 - b)² = r²   ( za x wstawimy - 2 , za  y  0)

 

[ - (2 + a)]² + ( - b)² = r²  

 

(2 + a)² + b² = r²  ( 2 ),

 

 

C = ( - 7, 5)

 

więc:

 

[( - 7) - a]² + (5 - b)² = r²   ( za x wstawimy - 7 , za y 5)

 

[ - (7 + a)]² + (5 - b)² = r²  

 

(7 + a)² + (5 - b)² = r²  ( 3 )

 

Z równań: ( 1 ), ( 2 ) i ( 3 ) tworzymy układ równań:

 

{ (5 + a)² + (3 + b)² = r²  

{ (2 + a)² + b² = r²  

{ (7 + a)² + (5 - b)² = r²  

 

{ (5 + a)² + (3 + b)² = (2 + a)² + b²

{ (2 + a)² + b² = (7 + a)² + (5 - b)²

{ (7 + a)² + (5 - b)² = r²  

 

{ 25 + 10a + a² + 9 + 6b + b² = 4 + 4a + a² + b²

{ 4 + 4a + a² + b² = 49 - 14a + a² + 25 - 10b + b²

{ (7 + a)² + (5 - b)² = r²  

 

{ 34 + 10a + 6b = 4a + 4

{ 4 + 4a = 74 - 14a - 10b

{ (7 + a)² + (5 - b)² = r²  

 

{ 10a - 4a + 6b = 4 - 34

{ 4a + 14a + 10b = 74 - 4

{ (7 + a)² + (5 - b)² = r²  

 

{ 6a + 6b = - 30 / * ( - 3)

{ 18a + 10b = 70 / : 2

{ (7 + a)² + (5 - b)² = r²  

 

{  - 18a - 18b =  90

{ 18a + 10b = 70

{ (7 + a)² + (5 - b)² = r²  

 

{ - 8b =  160 / : ( - 8)

{ 6a + 6b = - 30 / : 6

{ (7 + a)² + (5 - b)² = r²  

 

{ a + b = - 5

{ b = - 20

{ (7 + a)² + (5 - b)² = r²  

 

{ a - 20 = - 5

{ b = - 20

{ r² = (7 + a)² + (5 - b)²

 

{ a = 20 - 5

{ b = - 20

{ r² = (7 + a)² + (5 - b)²

 

{ a = 15

{ b = - 20

{ r² = (7 + 15)² +[5 - ( - 20)]²

 

{ a = 15

{ b = - 20

{ r² = (7 + 15)² +(5 + 20)²

 

{ a = 15

{ b = - 20

{ r² = 22² + 25²

 

{ a = 15

{ b = - 20

{ r² = 484 + 625

 

{ a = 15

{ b = - 20

{ r² =1109

 

Znalezione wartości: a, b oraz r², wstawiamy do równania ( * ) :

 

(x - 15)² + [y - ( - 20 )]² = 1109 ,

 

otrzymując:

 

(x - 15)² + (y + 20 )² = 1109.

 

Jest to szukane równanie okręgu.