Question

1.Znajdź pierwiastek funkcji w przedziale wykorzystując twierdzenie Bolzano-Cauchy'ego.

Sprawdzaj wartości funkcji na końcach przedziału i w środkach odpowiednich przedziałów.

2. Określ wartość parametru a, tak aby funkcja była ciągła.

3. Zbadaj ciągłość funkcji :

4. Mamy daną funkcję .

Czy jest ona ciągła? - (tak/nie).?

5. Wykorzystując twierdzenie Bolzano-Cauchy'ego znajdź pierwiastek funkcji w przedziale [-6,16].

6. Znajdź z dokładnością do jednego miejsca po przecinku pierwiastek funkcji w przedziale

Answer 1

1.

f(x)=2x³-3x²+22x-33

x ∈ <-4;4>

f(-4)=-297

f(4)=135

c=(-4+4)/2=0

f(c)=f(0)=-33

f(-4)*f(c)>0

f(4)*f(c)<0 ⇒ x₀∈ (0;4)

d=0+4/2=2

f(d)=15

f(4)*f(d)>0

f(c)*f(d)<0 ⇒ x₀∈(0;2)

e=0+2/2=1

f(e)=-12

f(d)*f(e)<0 ⇒ x₀∈(1;2)

f=(1+2)/2=1,5

f(f)=f(1,5)=0

x₀=1,5

uff..

2.

f(1)=f(1)

a²+a+a+1=4+4+1

a²+2a+1=9

a²+2a=8

a²+2a-8=0

f(a)=a²+2a-8

f(2)=4

f(0)=8

f(-4)=0 (zgadłem:P)

a₁=-4

teraz dziele sobie wielomian

(a²+2a-8):(a+4)=(a-2)(a+4)

a₁=2

a₂=-4

 

1⁰.  a=2

h(x)=   4x⁵+2x+3 dla x≤1

4x³+4x+1 dla x>1

 

f(1)=f(1)

4+2+1=4+4+1

7≠9

a=2 nie spełnia warunków zadania

 

2°.

a=-4

h(x)= 16x⁵-4x-3 dla x≤1

4x³+4x+1 dla x>1

f(1)=f(1)

...

16=16

a=-4 spełnia warunki zadania

 

3.

f(1)=f(1)

2+1=5-4+2

3=1+2

3=3

f jest ciągła

4.

f(1)=f(1)

5-5=ln1

0=0

f jest ciągła

5.

f(x)=4x³-9x²+100x-225

x ∈ (-6;16)

f(-6)=-2013

f(16)=15455

a=(-6+16)/2=5

f(a)=f(5)=550

f(-6)*f(a)<0 ⇒ x₀∈(-6;5)

b=(-6+5)/2=-0,5

f(b)=-277,75

f(a)*f(b)<0 ⇒ x₀∈(-0,5;5)

c=(-0,5+5)/2=2,25

f(c)=f(2,25)=0

x₀=2,25

 

6.

f(x)=3x⁴-2x³-22x²+4x+32

x ∈ <0;2>

f(0)=32

f(2)=-16

a=0+2/2=1

f(a)=f(1)=15

f(2)*f(a)<0 ⇒ x₀∈ (1;2)

b=1+2/2=1,5

f(b)=-3,06,2

f(a)*f(b)<= ⇒ x₀∈(1;1,5)

c=(1+1,5)/2=1,25

f(c)=6,04296875...

f(c)=6,04296875

f(a)*f(c)<0 ⇒ x₀∈(1,25;1,5)

d=1,375

f(d)=1,6137

f(d)*f(b)<0 ⇒ x₀∈(1,375;1,5)

e=1,4375

f(e)=-0,841751099..

f(d)*f(e)<0 ⇒ x₀ ∈ (1;375 ; 1,4375)

f=1,40625

f(f)=0,289294233...

f(e)*f(f)<0 ⇒ x₀∈(1,40625;1,4375)

x₀≈1,4