Question

Na bokach BC i CD prostokąta ABCD zbudowano, na zewnątrz prostokąta, trójkąty równoboczne BCK i DCL. Udowodnij, że trójkąt AKL jest równoboczny.

Answer 1

To mamy tak jakby podane w zadaniu:

∢ABC=∢BCD=∢CDA=∢DAB=90°     <--- kąty prostokąta

 

∢LDC=∢DLC=∢LCD=∢KCB=∢CBK=∢BKC=60°  <----- kąty powstałych trójkątów równobocznych

 

I teraz mozna zauwazyc ze sa 3 trojkaty przystające z cechy bok-kąt-bok, 

ponieważ:

 

bok |DA|=|BK|=|CK|  <---- to wynika, z powstałych trójkątów równobocznych

kąt ∢LDA=∢ABK=LCK  <----- to widać ładnie na rysuneczku ponieżej

bok |DL|=|AB|=|LC|  <---- to wynika, z powstałych trójkątów równobocznych

 

z tej cechy wynika, że 

 

∢DLC=∢KAB=∢CLK 

oraz 

∢DAL=∢BAK=∢CKL

 

wiemy że

∢DLC=60°, kąt ∢DLC=∢DLA+∢ALC

60°=∢DLA+∢ALC ,  kąt ∢DLA=∢CLK (z wyżej napisanego przystawania trójkątów) więc

60°=∢ALC+∢CLK,   kąt ∢ALK=∢ALC+∢CLK

60°=∢ALK   <-jeden kąt szukanego trójkąta równobocznego

 

wiemy że(zasada taka sama jak wyżej tylko operacja na innych kątach)

∢BKC=60°  , kąt ∢BKC=∢BKA+∢ABC

60°=∢BKA+∢ABC,  kąt ∢BKA=∢CKL (z wyżej napisanego przystawania trójkątów) więc

60°=∢ABC+∢CKL, kąt ∢AKL=∢ABC+∢CKL

60°=∢AKL <- drugi szukany kąt 

 

znając dwa kąt można wyliczyć trzeci

180°=∢AKL+∢ALK+∢LAK

180°=60°+60°+∢LAK

∢LAK=60°

 

Wszystkie kąty trójkąta ΔAKL są równe 60° więc trójkąt jest równoboczny.

 

taka mała pomoc :O

http://i42.tinypic.com/2vcdb0w.png