Question

Zad1
zbadaj monotoniczność ciągu (an) określonego wzorem:
a)an=4n²
b)an=4-n²
c)an=2+ 1/n+1
d)an=n-4/n+4

zad2
oblicz piąty wyraz ciągu (an) którego suma n początkowych wyrazów Sn określona jest wzorem:
a)Sn=n(2n+1)
b)Sn=¼ n² (n+1)²
c)Sn=3(2 do potęgi n - 1)

Answer 1

Zadanie 1
a) an=4n²
1) najpierw tworze wyraz kolejny ciagu , czyli A n+1

an+1=4(n+1)²=4n²+8n+4

2) teraz zbadam róznicę an+1 - an

4n²+8n+4-4n²=8n+4

i teraz z załozenia ze n nalezy do liczb naturalnych dodatnich to wiemy ze ten ciag jest ciagiem rosnacym

b)an=4-n₂
1) wyraz kolejny an+1= -n²-2n+3
2) roznica an+1 - an

-n²-2n+3-4+n²=-2n-1

a wiec widac ze dla kazdego n nalezacego do liczb dodatnich naturalnych bedzie mniejsze od zera wiec jest to ciag malejacy

c)an=2+ 1/n+1

1) wyraz kolejny to an+1= 2 + 1/n+2

2) wiec roznica 2+1/n+2 - 2 - 1/n+1=1/n+2-1/n+1

sprowadzamy do wspolnego mianownika wiec to bedzie

n+1-n-2/(n+2)(n+1)=-1/(n+1)(n+2)

i teraz widac ze mianownik jest zawsze wiekszy od 0 ale kiedy dzielna jest mniejsza od zera to calosc bedzie zawsze mniejsza od zera , wiec ciag jest malejacy

d)an=n-4/n+4

1) a wiec wyraz kolejny an+1= (n+1)-4/n+5

2) roznica an+1 - an=1+4/n+4-4/n+5=1+[(4n+20)-4n-16]/(n+4)(n+5)
=1 +4/(n+4)(n+5)

wiec widaz ze dla kazdego n nalezacego do n dodatnich naturalnych to jest wieksze od zera czyli ciag rosnacy

Proszę :)