Question

Zad1
suma dziesięciu wyrazów ciągu arytmetycznego (an) określonego wzorem an=2n+3 jest równa?

zad2
jeżeli liczby sin60°, sin45°, x są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to wartość x jest równa?

zad3
w ciągu geometrycznym rosnącym pierwszy wyraz jest równy -60 zatem iloraz q jest równy?

zad4
suma czterech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an) w którym a₁=-3 i q=2 jest równa?

zad5
jeżeli w ciągu geometrycznym o ilorazie q=-1 suma pięciu początkowych jego wyrazów jest równa √2,to pierwszy wyraz tego ciągu jest równy?

zad6
Beata wydała wszystkie swoje oszczędności w ciągu pięciu dni wakacji.Każdego dnia wydawała ona o 2 razy więcej niż dnia poprzedniego.Trzeciego dnia wydała 20zł.Oszczędności Beaty to kwota?

zad7
sprawdz czy ciąg jest geometryczny?
a)an=2n/n+2
b)an=-2 * 5do potęgi n
c)an=n³
d)an=2n+2

zad8
sprawdz czy dany ciąg geometryczny (an) jest rosnący gdy:
a)an=(½)do potęgi n
b)an=(-1)do potęgi n *3
c)an=2do potęgi n+1
d)an=(-3)do potęgi n

Answer 1

Z.1
an = 2n + 3
a1 = 2 + 3 = 5
a2 = 4+3 = 7
a3 = 6+3 = 9
r = a2 - a1 = 5 - 3 = 2
a₁₀ =a1 +9*r = 5+9*2 = 5 +18 = 23
S₁₀ ={[a₁ + a₁₀]/2}*10 ={ [5 + 23]/2}*10 ={ 28/2}*10 = 14*10 = 140
z.2
sin 60⁰, sin 45⁰, x - kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, zatem
x : √2/2 = √2/2 : √3/2
x*2/√2 = √2/ √3
x = √2/√3 : √2 = 1/√3 = √3/3
z.3
a1 = -60
Odp. q < 1
bo
a2 = a1*q = -60*q > -60
z.4
a1 = -3
q = 2
S₄ = a1*[1 -q⁴]/[1-q] = (-3)*[1- 16]/[1-2] =(-3)*(-15)/(-1) = -45
z.5
q = -1
S₅ =√2 , a1 = ?
S₅ = a1*[1-(-1)⁵]/[1-(-)] = a1*[1+1]/[1+1] = 2a1/2 = a1
Odp. a1 = √2
z.6
q = 2
a3 = 20
S₅ = ?
a3 = a1*q² = a1*2² = 4a1
4a1 = 20 ---> a1 = 20 : 4 = 5
S₅ = a1*[1-2⁵]/[1-2] = 5*[1-32]/[-1] = 5* 31 = 155
Odp.Beata miała 155 zł oszczędności.
z.7
a) an = 2n/(n+2)
NIE, bo
a1 = 2/3, a2 = 4/4 =1, a3 = 6/5
a3/a2 = 6/5
a2/a1= 1/ (2/3) = 3/2
b)
an = (-2)*5^n
an+1 = (-2)*5^(n+1) = (-2)*5*5^n
an+1 / an = 5
q = 5
Jest to ciąg geometryczny
c)
an = n²
an+1 = (n+1)²
an+1 / an = (n+1)²/n² = [(n+1)/n]²
Nie jest to ciąg geometryczny.
d)
an = 2n + 2
an+1 = 2*(n+1) +2 = 2n +4
an+1 / an = [2n +4]/[2n+2] = {n+2}/(n+1)
Nie jest to ciąg geometryczny.
z.8
a)
an = (½)^n
an+1 = (½)^(n+1) = (½)*(½)^n
q = an+1 / an = ½
Ciąg jest malejący.
b)
an = 3*(-1)^n
Nie jest to ciąg rosnący, bo
a1 = -3, a2 = 3, a3 = -3, ....
Jest to ciąg naprzemienny.
c)
an = 2^(n+1)
an+1 = 2^(n+2) = 2* 2^(n+1)
q = an+1 / an = 2
Ciąg jest rosnący.
d)
an = (-3)^n
Nie jest to ciąg rosnący, bo
a1 = -3, a2 = 9, a3 = -27, a4 = 81, ...