Question

Liczby x,y,z w podanej kolejności tworzą ciąg goeometryczny. Suma tych liczb wynosi 13. Te same liczby, w podanej kolejnosci są odpowiednio pierwszym, drugim i piątym wyrazem ciagu arytmetycznego. Wyznacz x, y, x

Answer 1

x,y,z  - ciąg geometryczny:  x+y+z=13

z def.  ciągu geometr. możemy wyrazy zapisać:

a)  x

y=x·q

z=x·q²  ,  q-iloraz ciągu

inaczej  y/x=q  oraz z/y=q  stąd

y/x=z/y    / * xy  mnożymy obustronnie

i)   y²=xz

ponadto

b) a₁=x,  a₂=y   a₅=z   są wyrazami ciągu arytm. ( an=a₁+ [n-1]r )    tzn.

a₂=y=x+r

a₅=z=x+4r

z założenia, że  x+y+z=13  otrzymujemy równanie

ii) x+x+r+x+4r=13    ⇒     3x+5r=13

do równania  i)  podstawiamy y, z   pkt b)

(x+r)²=x(x+4r)  ⇒ x²+2xr+r²=x²+4xr   ⇒  2xr+r²-4xr=0

r²-2xr=0  ⇒  r(r-2x)=0  ponieważ r≠0  to  r-2x=0  ⇒  r=2x

podstawiamy r=2x do równania  ii)

3x+ 5·2x=13  ⇒  13x=13    ⇒  x=1  ,     r=2x=2   więc

y=x+r=1+2=3

z=x+4r=1+8=9

odp.:

x=1,  y=3,  z=9,    r=2,   q=3