Question

1.Ile boków ma wielokąt, jeżeli suma jego kątów wewnętrznych jest równa 1980?

2.Ile boków ma wielokąt wypukły, jeżeli liczba jego przekątnych jest dwa razy większa niż liczna jego boków?

Miary kolejnych kątów wielkoąta wypikłego różnią się o 10 stopni. Najmniejszy kąt tego wielokąta ma miarę 100 st. ILe bokó ma wielokąt?

Answer 1

z.1

n - liczba boków wielokąta

Mamy

(n -2)* 180 st = 1980 st

n -2 = 1980 st : 180 st = 11

n = 11 + 2 = 13

Odp.Ten wielokąt ma 13 boków.

============================

z.2

n - liczba boków wielokąta wypuklego

[ n*(n -3)]/2   <-- liczba przekatnych wielokąta

Mamy zatem

[ n*(n -3)]/2 = 2 *n   / *2

n^2 - 3n = 4*n

n^2 - 7*n = 0

n*( n - 7) = 0

n = 7 , bo n jest dodatnie jako liczba boków.

Odp.Ten wielokąt wypukły ma 7 boków.

====================================

z.3

Miary kolejnych kątów tworzą ciąg arytmetyczny

100,100 + 1*10, 100 +2*10, 100 + 3*10, ... , 100 +(n -1)*10

zatem

a1 = 100

r = 10

an = 100 +(n -1)*10

zatem suma wszystkich kątów jest równa

0,5*[a1 + an]*n = 0,5*[ 100 + 100 + (n -1)*10]*n = 0,5*[200 +(n-1)*10]*n =

= [100 + 5*(n -1)] *n

oraz ta suma jest równa  (n -2)*180

czyli

[100 + 5*(n-1)]*n = (n -2) *180

100n + 5n*(n-1) = 180n - 2*180

100n + 5 n^2 - 5n - 180n + 360 = 0

5 n^2 - 85n + 360 = 0   / : 5

n^2 - 17n + 72 = 0

delta = 289 - 4*1*72 = 289 - 288 = 1

n = [ 17 - 1]/2 = 16/2 = 8

lub  n = [ 17 + 1]/2 = 18/2 = 9,ale n = 9 odpada, bo 100 + (9-1)*10 = 180

(kąt półpełny)

Odp. Ten wielokąt ma 8 boków.

====================================