Question

Dla jakich wartości parametru m, równanie ma dwa różne pierwiastki
x²-2x+1=2x*log(m) +log²(m)

Answer 1

Po pierwsze dziedzina:
m > 0

x² - 2x + 1 = 2x*log(m) + log²(m)
x² - 2x(1 + log(m)) + 1 - log²(m) = 0

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

Δ > 0
[- 2(1 + log(m))]² - 4[1 - log²(m)] > 0
4(1 + log(m))² - 4[1 - log²(m)] > 0 |:4
(1 + log(m))² - [1 - log²(m)] > 0
(1 + log(m))² - (1 + log(m))(1 - log(m)) > 0
(1 + log(m))[(1 + log(m)) - (1 - log(m))] > 0
(1 + log(m))[1 + log(m) - 1 + log(m)] > 0
2(1 + log(m))log(m) > 0
(1 + log(m))log(m) > 0

t = log(m)

(1 + t)t > 0
t ∈ (-ω, -1) u (0, ω)

log(m) < -1 ∨ log(m) > 0
log(m) < log(1/10) ∨ log(m) > log1
m < 1/10 ∨ m > 1

Ponieważ z dziedziny m > 0:
m ∈ (0, 1/10) u (1, ω)

jak czegoś z tego nie rozumiesz pisz na pw

Answer 2

Rozumiem, że użytkownik cyfra zrobił dobrą robotę zamieszczając rozwiązanie, ale niestety jest ono błędne...
Nie chcę tego zgłaszać jako spam, bo to nie jest spam. To poprostu drobny błąd, który chciałbym poniżej skorygować...

Do tego miejsca było dobrze:

t = log(m)

(1 + t)t > 0
t ∈ (-ω, -1) u (0, ω)

log(m) < -1 ∨ log(m) > 0
log(m) < log(1/m) ∨ log(m) > log1

Ale tutaj jest błąd, to cyfra skorzystał tu z faktu, że:
-1 = log (1/m)
TO NIE JEST PRAWDA!
-1 = log(1/10)
... o ile zakładamy, że log jest logarytmem dziesiętnym (a oznaczenie log jest powszechnie stosowane dla logarytmów dziesiętnych)

Zatem: poniżej zamieszczam fragmenty rozwiązania cyfry, ale z poprawionym błędem

m < 1/10 ∨ m > 1

Ponieważ z dziedziny m > 0:

m ∈ (0, 1/10) u (1, ω)


Łatwo można sprawdzić, że równanie nie ma 2 rozwiązań dla m niewiele mniejszych od 1, wtedy log(m)
jest minimalnie mniejszy od 0
Można np. przyjąć log(m) = -1/2 i wtedy nie mamy 2 rozwiązań!

Cyfra: mam nadzieję, że nie masz nic przeciwko temu, że skorzystałem z Twojego rozwiązania! Nie zgłaszam jako spam, bo w sumie jest dobre, może poza jednym miejscem w którym popełniłeś drobny błąd