Question

Dla jakich wartości parametru m równanie 3x²-xlogm+1=0 ma pierwiastki rzeczywiste spełniające warunek x₁²+x₂²=1

Pilne!!!

Answer 1

Niech log m = p
Wtedy m = 10 ^ p

Mamy równanie kwadratowe:

3x² - px + 1 = 0
a = 3
b = -p
c = 1

Ze wzorów Viete'a mamy:
x₁ + x₂ = -b / 2 = p / 3
x₁x₂ = c / a = 1 / 3

Chcemy aby:
1 = x₁² + x₂² = x₁² + 2x₁x₂ +x₂² - 2x₁x₂ =
= (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ =
= (p/3)² - 2/3

Czyli:
1 = (p/3)² - 2/3
5/3 = p²/9 | *9
p² = 5/3 * 9 = 15
p = √15 lub p = -√15

Czyli ostatecznie:
m = 10 ^ (√15) lub
m = 10 ^ (- √15) = 1 / (10 ^ (√15))

Można jeszcze sprawdzić, czy Δ ≥ 0

Δ = b² - 4ac = p² - 4 * 1 * 3 = 15 - 12 = 3 ≥ 0, tak jest dla obu wartości p, bo p²=15.
Tak więc w obu przypadkach rozwiązania x₁ i x₂ istnieją