Question

Dla jakich wartości paramentru 'm' wartość funkcji f(x)=(2m+1)x^{2}+(m-1)x+3m są dla każdego x naleącego do R większe od odpowiednich wartości funkcji g(x)=(2-3m)x-2 ???

Answer 1

f(x) = (2m +1) x^2 + ( m -1) x + 3m

g(x) = ( 2 - 3m) x  - 2

Ma być

f(x) > g(x) dla każdego x należącego do R

(2m +1) x^2 + ( m -1) x + 3m > ( 2 - 3m) x - 2

(2m +1) x^2 +  (m-1 - 2 + 3m) x + 3m + 2 > 0

(2m + 1) x^2 = (4m - 3) x + 3m + 2 > 0

---------------------------------------------------

delta = [ 4m -3]^2 - 4*(2m + 1)*(3m + 2) =

= 16 m^2 - 24m + 9 - 4*(6 m^2 + 4m + 3m + 2) =

= 16 m^2 - 24m + 9 - 24 m^2 - 28 m - 8 =

= - 8 m^2 - 52 m + 1

---------------------------

Aby zachodziła nierówność

( 2m +1) x^2 + (4m -3) x + 3m + 2  > 0

delta musi być ujemna

czyli

- 8 m^2 - 52 m + 1 < 0

------------------------------

delta 1 = ( -52)^2 - 4*(-8)*1 = 2704 + 32 = 2 736 = 16*171 = 16*9*19

p(delty 1) = 12 p(19)

m2 = [ 52 - 12 p(19)]/(-16) = -3,25 + 0,75 p(19)

m1 = [ 52 + 12 p(19)]/(- 16) = -3,25 - 0,75 p(19)

- 8 m^2 - 52 m + 1 < 0  <=> m < m1   v  m > m2

Odp. m należy do ( - oo; -3,25 - 0,75 p(19)) u ( -3,25 + 0,75 p(19): + oo )

=================================================================