Question

dany jest trójkąt ABC, w którym A( -5, -4) B (1,3) C (-3,2). oblicz pole tego trójkąta.

Answer 1

A = ( -5 ; -4),  B = (1; 3) , C = (- 3 ; 2)

 

I AB I^2 = ( 1 - (-5))^2 + ( 3 - (-4))^2 = 6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85

zatem

I AB I = p( 85 )

==============

Prosta AB

y = a x + b

-4 = - 5 a + b

3 = a + b

--------------------- odejmuję stronami

3 - (-4) = a - ( -5a)

7 = 6 a

a = 7/6

---------

b = 3 - a = 3 - 7/6 = 18/6 - 7/6 = 11/6

-----------------------------------------------

pr AB ma równanie:    y = (7/6) x + 11/6  - postać kierunkowa

lub

6y = 7x +  11

7x - 6y + 11 = 0   - postać ogólna

=============

Wysokość tego trójkąta , to odległoścx punktu C pd pr AB

Korzystam z wzoru na odległośc punktu od prostej:

h = I A x0 + B y0 + C I / p ( A^2 + B^2)

gdzie

A = 7,  B = - 6, C = 11

x0 = -3  i    y0 = 2

Po podstawieniu mamy

h = I 7*(-3) + (-6)*2 + 11 I / p ( 7^2 + (-6)^2)

h = I -21 - 12 + 11 I / p( 49 + 36)

h = I - 22 I / p( 85)

h = 22/ p(85)

============

Pole trójkąta ABC

P = 0,5 * I AB I * h

P = 0,5 * p(85) * [ 22/ p(85)] = 11

Odp. P = 11

==============

 II sposób ( wzór wyznacznikowy na pole trójkąta )

-->
AB = [ 1 - (-5) ; 3 - (-4) ] = [ 6; 7 ]

-->

AC = [ - 3 - (-5); 2 - (- 4) ] = [ 2 ; 6 ]

Pole

P = 0,5 * I det wektorów AB, AC I

P = 0,5 * I 6*6 - 2*7 I = 0,5 * I 36 - 14 I = 0,5 * 22 = 11

P = 11

===========