Question

Ciągi monotoniczne. Proszę o pomoc:)

1Wykaż, że ciąg (an) jest rosnący.
a) an = 2n
minus ---------
n^2 + 1
b) an= n^2-n-6
2Wykaż, że ciąg (an) jest malejący.
a) an= 4
------
n + 2
b) an= -n^2-4n +5

Answer 1

Z.1
Wykaż, że ciąg (an) jest rosnący
a)
an = (-2n)/(n² +1)
an+1 = [ -2(n+1)]/[(n+1)² +1] = (-2n -2)/[n² +2n +1 +1] =
= (-2n -2)/(n² +2n +2)
an+1 - an = (-2n -2)/(n²+2n +2) - (-2n)/(n²+1) =
= [(-2n-2)*(n²+1) +2n(n²+2n+2)]/[(n²+2n+2)*(n²+1)] =
=[-2n³ -2n -2n²-2 +2n³ +4n² +4n]/[(n²+2n+2)*(n² +1)] =
= [2n² +2n -2]/[(n²+2n+2)*(n² +1)] > 0 dla dowolnego n ∈ N
a to oznacza, że ciąg (an) jest rosnący.
Uwaga: Łatwo wykazać, ze dla n naturalnego 2n² +2n -2 > 0 oraz
zauważyć, że n² +2n +2 > 0 i n² + 1 > 0.
b)
an = n² - n - 6
an+1 = (n+1)² -(n+1) - 6 = n² +2n +1 -n -1 - 6 = n² +n -6
an+1 - an = (n² + n - 6) - (n² - n - 6 ) = n²- n² +n +n -6 +6 = 2n
2n > 0 dla dowolnej liczby n ∈ N , zatem ciąg (an) jest rosnący.
z.2
Wykaż, że ciąg ( an) jest malejący
a)
an = 4/(n +2 )
an+1 = 4/[( n+1) + 2] = 4/(n +3)
an+1 - an = 4/(n+3) - 4/(n+2) < 0 , a to oznacza ,że ciąg (an)
jest malejący.
Uwaga:
Ponieważ n + 2 < n +3 , zatem 4/(n+3) < 4(n+2)
Z dwóch ułamków o takich samych licznikach, ten jest
mniejszy, którego mianownik jest większy.

b) an = -n² - 4 n + 5

an+1 = -(n+1)² - 4(n+1) + 5 = -(n²+2n +1) - 4n - 4 + 5 =
= -n² - 2n - 1 -4n +1 = -n² - 6n
an+1 - an = ( -n² - 6n) - (-n² - 4n +5) =- n² +n² -6n +4n -5 = -2n -5
-2n - 5 < 0 dla dowolnej liczby n ∈ N , zatem ciąg (an) jest
malejący.