Question

Byłbym niezmiernie wdzięczny gdyby ktoś mi pomógł.
1.Oblicz pole powierzchni czworościanu foremnego, którego suma długości wszystkich krawędzi wynosi 12 (pierwiastek 5).

2. Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 10 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Answer 1

Zad. 1
suma krawędzi czworościanu foremnego 12√5
liczba krawędzi 6
długość krawędzi a = 12√5 : 6 = 2√5
pole powierzchni ściany czworościanu foremnego
(trójkąt równoboczny o boku a)
Pś = (a²√3)/4 = (2√5)²*√3/4 = 20*√3/4 = 5√3
pole powierzchni całkowitej czworościanu (suma pól czterech ścian)
4*5√3 = 20√3
Odp. Pole powierzchni czworościanu foremnego jest równe 20√3.

Zad. 2
Krawędź boczna b = 10
α = 60⁰ (kąt nachylenia krawędzi bocznej b do płaszczyzny podstawy, czyli przekątnej podstawy d)
Korzystamy z proporcji trygonometrycznej w trójkącie
prostokątnym o przeciwprostokątnej b (krawędź boczna),
przyprostokątnej h (wysokość ostrosłupa)
i przyprostokątnej ½d (połowa przekątnej podstawy).
Obliczamy długość wysokości ostrosłupa:
sinα = h/b
h = b* sinα = 10* sin 60⁰ = (10*√3)/2 = 5√3
Obliczamy długość przekątnej podstawy (przekątna kwadratu):
cosα = ½d/b
½d = b*cosα = 10* cos 60⁰= 10*½ = 5
d = 10
Obliczamy pole podstawy ostrosłupa (pole kwadratu):
Pp= a²= (d/√2)² = ½d² {przekątna d = a√2, stąd a = d/√2},
Pp = ½*10² = ½*100 = 50
Obliczamy objętość ostrosłupa:
V = ⅓Pp*h = ⅓*50*5√3 = (250√3)/3
Odp. Objętość ostrosłupa jest równa (250√3)/3.

Answer 2

1.

Pc = ?
wszystkie krawędzie - 12√ 5
12 √5 / ilość krawędzi
12√ 5 / 6 = 2√ 5
1 krawędź - 2 √ 5

Pole podstawy - a ²×√3 ÷ 4 . = ( 2√5 )² × √3 ÷4. = 5 √3.

Pole powierzchni czworościanu :
5√3 × 4 = 20 √3 .

2.

V = ⅓ × Pp × H

H =½ d √3 = 5√3. < po wykonaniu rysunku i zastosowaniu własności trójkątów >
½ d = 5
d = 10
a - krawędź podstawy = 5 √ 2
pole podstawy - (5 √ 2 )² = 20.

V = ⅓ × 20 × 5√3
V = 100 √3 ÷ 3.