Question

1. Trapez prostokątny o podstawach 5 i 8 oraz kącie ostrym 45 stopni obraca się wokół krótszej podstawy. Oblicz objętość powstałej bryły obrotowej.

2. a) Na ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy 6 i krawędzi bocznej 8 opisano stożek w sposób przestawiony na rysunku 1. Oblicz objętość tego stożka.
b) Na graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy 12 i wysokości 15√2 opisano walec w sposób przedstawiony na rysunku 2. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.

Answer 1

Zad.1
trapez prostokątny
podstawa dolna a= 8
podstawa górna b= 5
kąt ostry trapezu α= 45⁰, więc wysokość trapezu h = 8- 5= 3
{po odcięciu trójkąt równoramienny prostokątny}
Powstała bryła to walec z wyciętym stożkiem.
Obliczamy objętość walca Vw:
{promień podstawy to wysokość trapezu h = 3,
wysokość walca to podstawa dolna trapezu a = 8}
Vw = πh²*a = π*3²*8 = 72π
Obliczamy objętość stożka Vs:
{promień podstawy stożka to wysokość trapezu h = 3,
wysokość stożka to różnica podstaw trapezu a-b=8-5=3}
Vs = ⅓πh²*(a-b) = ⅓π*3²*3= 9π
Obliczamy objętość powstałej bryły:
V = Vw-Vs = 72π - 9π = 63π
Odp. Objętość bryły jest równa 63π.

Zad.2
a)
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
krawędź podstawy a = 6
krawędź boczna b = 8
1) Obliczamy promień okręgu r opisanego na podstawie
(czyli na trójkącie równobocznym)
r = ²/₃wysokości trójkąta równobocznego (hΔ = a√3/2)
r = ²/₃*(a√3/2) = a√3/3 = 6√3/3 = 2√3
i obliczamy pole podstawy stożka
Pp = πr² = π(2√3)² = 12π
2) Obliczamy wysokość stożka H korzystając
z tw. Pitagorasa w trójkącie prostokątnym
{przyprostokątna to wysokość ostrosłupa H,
druga przyprostokątna to promień podstawy stożka r,
przeciwprostokątna to krawędź boczna b}
H² + r² = b²
H² = b² - r² = 8² - (2√3)² = 64 - 12 = 52
H = √52 = √(4*13) = 2√13
3) Obliczamy objętość stożka
V = ⅓Pp*H = ⅓*12π*2√13 = 8√13π
Odp.Objętość stożka jest równa 8√13π.

b)
graniastosłup prawidłowy czworokątny
krawędź podstawy a = 12
wysokość h =15√2
1) obliczamy promień podstawy walca r
{jest to połowa przekątnej podstawy graniastosłupa,
czyli połowa przekątnej kwadratu ½d, gdzie d = a√2}
r = ½*a√2 = ½*12√2 = 6√2
i następnie pole podstawy
Pp = πr² = π(6√2)² = 72π
2) Obliczamy pole powierzchni bocznej walca
Pb = 2πrh = 2π(6√2)*(15√2) = 360π
3) Obliczamy pole powierzchni całkowitej tego walca
Pc = 2Pp + Pb = 2*72π + 360π = 144π + 360π = 504π
Odp. Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe 504π.