Question

1. Odpowiednio zwijając prostokąt o bokach 16 i 9\pi, można utworzyć powierzchnię boczną walca o wysokości 16 lub walca o wysokości 9\pi. Objętość, którego z tych walców jest liczbą wymierną?

2. Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyźnie jest wycinkiem koła o promieniu 16 i kącie środkowym
225 stopni. Oblicz objętość tego stożka.

Answer 1

Zad.2
promień wycinka koła l= 16 (jest to tworząca stożka)
kąt środkowy wycinka 225⁰
wycinek to ⁵/₈ koła (225⁰/360⁰ = ⁵/₈)
obwód wycinka (ta część koła po zwinięciu, która jest podstawą stożka)
⁵/₈*2πl = ⁵/₈*2π*16 = 20π
jest to obwód podstawy stożka o promieniu r:
2πr = 20π
r = 10
Z tw. Pitagorasa w trójkącie prostokątnym
o przyprostokątnej, która jest wysokością stożka h,
drugiej przyprostokątnej, która jest promieniem podstawy r,
przeciwprostokątnej, która jest tworzącą stożka l.
h²+ r² = l²
h² = l² - r² = 16² - 10² = 256 - 100 = 156
h = √156 = √(4*39)= 2 √39
Wysokość stożka jest równa 2 √39.
Objętość stożka V = ⅓πr²*h = ⅓π*10²*2 √39=
⅓π*100*2 √39 = (200√39/3)π
Odp. Objętość stożka jest równa (200√39/3)π.

Zad.1
Zad.2
wymiary prostokąta:
a= 16 i b= 9π
I) h = a = 16
obwód podstawy b = 9π
2πr = 9π
r = 4,5
pole podstawy πr² = π*(4,5)²= 20,25π
objętość V = πr²*h = 20,25π*16 = 324π
II) h= b= 9π
obwód podstawy a = 16
2πr = 16
r = 16/2π = 8/π
pole podstawy πr² = π*(8/π)²= π*8²/π² = 64/π
objętość V = πr²*h = 64/π* 9π = 576
Odp. Objętość walca o wysokości 9π jest liczbą wymierną
i wynosi 576.