Question

1. Z wycinka koła o promieniu 16 i kącie środkowym
135 stopni utworzono powierzchnię poczną stożka. Oblicz wysokość tego stożka.

2. Odpowiednio zwijając prostokąt o bokach 9 i 16 II (pi) , można utworzyć powierzchnię boczną walca o wysokości 9 lub walca o wysokości 16 II (pi) . Który z walców ma większą pojemność?

Answer 1

Zad.1
promień wycinka koła l= 16 (jest to tworząca stożka)
kąt środkowy wycinka 135⁰
wycinek to ³/₈ koła (135⁰/360⁰ = ³/₈)
obwód wycinka (ta część koła po zwinięciu, która jest podstawą stożka)
³/₈*2πl = ³/₈*2π*16 = 12π
jest to obwód podstawy stożka o promieniu r:
2πr = 12π
r = 6
Z tw. Pitagorasa w trójkącie prostokątnym
o przyprostokątnej, która jest wysokością stożka h,
drugiej przyprostokątnej, która jest promieniem podstawy r,
przeciwprostokątnej, która jest tworzącą stożka l.
h²+ r² = l²
h² = l² - r² = 16² - 6² = 256 - 36 = 220
h = √220 = √(4*55)= 2 √55
Odp. Wysokość stożka jest równa 2 √55.

Zad.2
wymiary prostokąta:
a= 9 i b= 16π
I) h = a = 9
obwód podstawy b = 16π
2πr = 16π
r = 8
pole podstawy πr² = π*8²= 64π
objętość V = πr²*h = 64π*9 = 576π
II) h= b= 16π
obwód podstawy a = 9
2πr = 9
r = 9/2π = 4,5/π
pole podstawy πr² = π*(4,5/π)²= π*(4,5)²/π² = 20,25/π
objętość V = πr²*h = 20,25/π* 16π = 324
porównujemy objętości
576π>324
Odp. Walec o wysokości 9 ma większą objętość niż walec
o wysokości 16π.