Question

Zadanie 1
Kulę o promieniu R przecięto płaszczyzną oddaloną od środka kuli o 1/4 R. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Zadanie 2
Lakierem z puszki o pojemności 0,75 l pomalowano 12m² powierzchni. Oblicz ile milimetrów ma otrzymana warstwa lakieru.

Zadanie 3
Oblicz tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy w czworościanie foremnym.

Answer 1

Zad. 1
{ Robimy rysunek:
Rysujemy koło o promieniu R - jest to przekrój kuli o promieniu R, tzw. koło wielkie, potem poziomą średnicę i następnie promień prostopadły do tej średnicy. Na promieniu w odległości ¼R od środka (promień dzielimy na cztery części) prowadzimy cięciwę równoległą do poziomej średnicy, potem koniec otrzymanej cięciwy łączymy ze środkiem koła.
Otrzymamy trójkąt prostokątny, w którym jedna przyprostokątna
jest równa ¼R, druga przyprostokątna to promień r otrzymanego przekroju (długość ½cięciwy), przeciwprostokątna to promień kuli R}
Z tw. Pitagorasa obliczamy promień r otrzymanego przekroju:
r² + (¼R)² = R²
r² = R² - (¼R)² = R² - ¹/₁₆R² = ¹⁵/₁₆R²
{nie musimy wyznaczać r, bo we wzorze na pole koła mamy r²}
Ponieważ pole przekroju jest równe πr²,
to mamy πr² = π*¹⁵/₁₆R² = ¹⁵/₁₆πR²
Odp. Pole otrzymanego przekroju jest równe ¹⁵/₁₆πR².

Zad. 2
pojemność puszki lakieru V = 0,75l = 0,75dm³ {1l = 1dm³}
pomalowana powierzchnia P = 12m² = 1200dm²
{1m² = 10dm*10dm = 100dm², bo 1m = 10dm}
grubość h warstwy lakieru obliczamy dzieląc
objętość przez pole powierzchni
h = V:P = 0,75dm³: 1200dm² = (¾ : 1200)dm =
(¾*¹/₁₂₀₀)dm = ¹/₁₆₀₀ dm = ¹/₁₆₀₀*100mm = ¹/₁₆ mm= 0,0625mm
{1dm = 10cm = 100mm}
h = ¹/₁₆ mm= 0,0625mm = 6,25*10⁻²mm
{można różnie zapisać wynik:
ułamek zwykły, dziesiętny, postać wykładnicza}
Odp.Otrzymana warstwa lakieru ma grubość
0,0625mm = 6,25*10⁻²mm.

Zad.3
{Na rysunku zaznaczamy kąt między wysokością ściany bocznej,
a wysokością podstawy, jest to kąt nachylenia α ściany bocznej do płaszczyzny podstawy w czworościanie foremnym o krawędzi a. Zaznaczmy też wysokość ostrosłupa H. Otrzymamy trójkąt prostokątny o jednej przyprostokątnej, która jest wysokością ostrosłupa H, drugiej przyprostokątnej, która jest ⅓wysokości podstawy ⅓h(środek spodku wysokości jest w punkcie przecięcia się wysokości podstawy i jest środkiem okręgu wpisanego
w trójkąt równoboczny)
i przeciwprostokątnej, która jest wysokością h ściany bocznej}
Czworościan foremny ma wszystkie ściany takie same,
są to trójkąty równoboczne o długości boku a.
Wysokość ściany h = a√3/2 (wysokość trójkąta równobocznego)
Korzystamy z tw. Pitagorasa i obliczmy wysokość ostrosłupa H:
H² + (⅓h)² = h²
H² = h²- (⅓h)² = h²- ¹/₉h² = ⁸/₉h²
H = √(⁸/₉h²) = (²√²)/₃*h
{√8 = √(4*2) = 2√2, √9 = 3}
Obliczamy tangens kąta nachylenia ściany bocznej
do płaszczyzny podstawy w czworościanie foremnym:
tgα = H/(⅓h) {H = (²√²)/₃*h }
tgα = [(²√²)/₃*h ]/(⅓h) = [(²√²)/₃]:(⅓)
tgα = [(²√²)/₃]*3 = 2√2
Odp.Tangens kąta nachylenia ściany bocznej
do płaszczyzny podstawy w czworościanie foremnym
jest równy 2√2.