Question

1. Na rysunkach przedstawiono graniastosłup prawidłowy i ostrosłup prawidłowy oraz podano długości niektórych odcinków. Oblicz długość odcinka x i miarę kąta alfa. (rysunki w załączniku zadanie 1).

2. Na rysunku przedstawiono siatkę pewnego ostrosłupa. Oblicz jego objętość. (rysunek w załączniku zadanie 2).

3. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o boku a i kącie ostrym alfa. Dłuższa przekątna tego graniastosłupa o długości d tworzy z podstawą kąt o mierze beta. Jaką objętość ma ten graniastosłup ?

Answer 1

Zad.1
A)
Graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy a.
Przekątna graniastosłupa d = 17
przekątna ściany bocznej x = ?
wysokość graniastosłupa h = 15
1) Korzystamy z tw. Pitagorasa w I trójkącie prostokątnym:
{pierwsza przyprostokątna a, druga przyprostokątna x,
przeciwprostokątna d}
a² + x² = d²
2) Korzystamy z tw. Pitagorasa w II trójkącie prostokątnym:
{pierwsza przyprostokątna a, druga przyprostokątna h,
przeciwprostokątna x}
a² + h² = x²
z 1) i 2) wyznaczamy a²
a² + x² = d², a² = d²- x²
{
a² + h² = x², a²= x²- h²
mamy d²- x² = x²- h²
2x² = d²+ h²
2x² = 17² + 15² = 289 + 225 = 514
x² = 514:2=257
x = √257
Odp. Długość przekątnej ściany bocznej x = √257
B)
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
wysokość ostrosłupa h = 35
wysokość ściany bocznej H = 37
α kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy
1) Korzystamy z tw. Pitagorasa w I trójkącie prostokątnym:
{pierwsza przyprostokątna to wysokość ostrosłupa h,
druga przyprostokątna x to ⅓wysokości podstawy, czyli trójkąta
równobocznego, przeciwprostokątna to wysokość ściany
bocznej H} i obliczamy x = ⅓wysokości podstawy
h² + x² = H²
x² = H² - h²= 37² - 35² = 1369 - 1225 = 144
x = √144 = 12
⅓wysokości podstawy = x = 12
⅔wysokości podstawy = 2x = 24
2) Korzystamy z proporcji trygonometrycznej kąta α
w II trójkącie prostokątnym:
{pierwsza przyprostokątna h, druga przyprostokątna
2x = ⅔wysokości podstawy, czyli trójkąta
równobocznego, przeciwprostokątna to krawędź boczna}
tg α = h/2x = 35/24 = 1,4583..
α ≈ 56⁰
Odp. Kąt α ≈ 56⁰
Zad. 2
1)obliczam krawędź podstawy x (przyprostokątna leżąca
naprzeciw kąta 43⁰)
sin 43⁰ = x/13,2
x = 13,2*sin 43⁰≈ 13,2*0,682
x ≈ 9
2)obliczam drugą krawędź podstawy y (przyprostokątna leżąca
przy kącie 43⁰)
cos 43⁰ = y/13,2
y = 13,2*cos 43⁰≈ 13,2*0,7314
x ≈ 9,66
3)obliczamy pole podstawy Pp (pole trójkąta prostokątnego)
Pp = ½xy = ½*9*9,66
Pp ≈ 43,5
4) obliczmy objętość ostrosłupa, gdzie H = 17,4
V = ⅓*Pp*H = ⅓*43,5*17,4
V≈ 252,3
Odp. Objętość ostrosłupa 252,3

Zad.3
1) podstawa to romb o boku a i kącie ostrym α
Pole trójkąta o sąsiednich bokach a i kącie α
PΔ = ½a*a*sinα , więc pole rombu o tym samym kącie
i bokach P = 2*½a*a*sinα = a²*sinα
2) dłuższa przekątna d tworzy z podstawą kąt β
mamy, więc trójkąt prostokątny, gdzie przyprostokątna leżąca
naprzeciw tego kąta to wysokość h graniastosłupa
możemy wyznaczyć ją z proporcji trygonometrycznej
sin β = h/d
h = d*sin β
3) Obliczamy objętość graniastosłupa
V = Pp*h = a²*sinα *d*sinβ = a²d*sinαsinβ
Odp. Objętość tego graniastosłupa wynosi a²d*sinαsinβ