Question

1. Oblicz objętość stożka ściętego, którego podstawy mają promienie 6 i 9, a tworząca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni.

2. Oblicz objętość kuli wpisanej w walec o objętości 54\pi.

3.Oblicz pole powierzchni bryły powstałej w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 20 i 21 wokół przeciwprostokątnej.

Answer 1

Zad.1
1)
Obliczamy objętość stożka o promieniu podstawy r₁ = 9:
najpierw obliczamy wysokość stożka h₁ korzystając
z tangensa kąta α=60⁰ w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnej
równej wysokości stożka h₁, drugiej przyprostokątnej równej
promieniowi podstawy r₁ = 9
tgα = h₁/r₁
h₁ = tgα*r₁ = tg60⁰ *9 = √3*9 = 9√3
V₁ = ⅓πr₁²h₁ = ⅓π*9²*9√3 = ⅓*81*9√3π= 243√3π
2)
Obliczamy objętość stożka o promieniu podstawy r₁= 6:
najpierw obliczamy wysokość stożka h₂ korzystając
z tangensa kąta α=60⁰ w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnej równej wysokości stożka h₂, drugiej przyprostokątnej równej promieniowi podstawy r₂= 6
tgα = h₂/r₂
h₂= tgα*r₂= tg60⁰ *6 = √3*6 = 6√3
V₂ = ⅓πr₂² h₂ = ⅓π*6²*6√3 = ⅓*36*6√3π= 72√3π
3)
Obliczamy objętość stożka ściętego
V₁ - V₂ = 243√3π - 72√3π = 171√3π
Odp. Objętość stożka ściętego jest równa 171√3π.

Zad.2
Objętość walca V = 54/π
promień podstawy walca r jest równy promieniowi kuli,
bo jest ona wpisana w walec,
wysokość walca h= 2r, bo to średnica kuli
V = πr² h = πr²*2r = 2r³π = 54/π
2r³π = 54/π /:(2π)
r³ = 27/π²
Objętość kuli Vk = ⁴/₃πr³ = ⁴/₃π*(27/π²) = 36/π
Odp. Objętość kuli wpisanej w walec o objętości 54/π
jest równa 36/π.

Zad.3
W wyniku obrotu trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych
20 i 21 wokół przeciwprostokątnej otrzymamy dwa stożki.
I)
Obliczamy długość przeciwprostokątnej p trójkąta prostokątnego
p² = 20²+ 21²
p² = 400+ 441 = 841
p = 29
II)
Obliczamy promień podstawy stożków r:
wiedząc, że h₁ + h₂ = 29
{korzystamy z tw. Pitagorasa w trójkącie prostokątnym}
h₁² + r²= 20²
{
h₂²+ r²= 21², wstawiamy do równania za h₂= 29- h₁

h₁² + r²= 400
{
(29- h₁)²+ r²= 21²

h₁² + r²= 400
{
841- 58h₁+ h₁²+ r²= 441

h₁² + r²= 400, r² = 400- h₁²
{
841- 58h₁+ h₁²+ r²= 441

r² = 400- h₁²
{
841- 58h₁+ h₁²+ 400- h₁²= 441

r² = 400- h₁²
{
841- 58h₁+ 400 = 441

r² = 400- h₁²
{
-58h₁= 441-841-400

r² = 400- h₁²
{
-58h₁= 441-841-400

r² = 400- h₁²
{
-58h₁= -800 /:(-58)

r² = 400- h₁²
{
h₁= 800: 58= 400: 29 = ⁴⁰⁰/₂₉= 13²³/₂₉

r² = 400- h₁² = 400 - (⁴⁰⁰/₂₉)² = (400*29² - 400²)/29²=
[400(29²-400)]/29² = [400*441]/29²
r = √{[400*441]/29²} =(20*21)/29
Pole powierzchni bocznej stożka o tworzącej 20:
πr*20 = 20π*(20*21)/29
Pole powierzchni bocznej stożka o tworzącej 21:
πr*21 = 21π*(20*21)/29
Pole powierzchni bryły powstałej z obrotu:
20π*(20*21)/29 + 21π*(20*21)/29=
41π*(20*21)/29= 20*21*41π/29 ≈ 594π