Question

Zad1
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego (an) o różnicy r=-3 jest równy 3 a ostatni wyraz an stanowi 1/8 sumy wszystkich poprzednich wyrazów.
a)wyznacz liczbę wyrazów ciągu (an).
b)podaj ostatni wyraz ciągu(an).

zad2
długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz długości tych boków,gdy:
a)obwód trójkąta jest równy 24
b)długość każdego następnego boku jest większa od poprzedniego o 3

Answer 1

Z.2
a,b,c - długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg
arytmetyczny
a) obwód trójkąta równa się 24
a, a+r, a+ 2r - długości boków tego trójkąta
a+ a + r + a + 2r = 24
3a + 3r = 24 ----> a +r = 8 -----> a = 8 -r
a² + (a+r)² = (a+2r)²
a² - 2ar - 3r² = 0
(8-r)² -2(8-r)r - 3r² = 0
64 -16r + r²-16r + 2r² - 3r² = 0
32r = 64
r = 2
a = 8 - r = 8 - 2 = 6
Zatem
a= 6, b = 6+2 = 8, c = 8+2 = 10
Odp.Boki tego trójkąta maja długości : 6,8, 10 .
b)
Długość każdego boku Δ jest o 3 większa od poprzedniego.
Mamy
a, a+3, a + 6
a² +(a+3)² = (a+6)²
a² + a² +6a + 9 = a² + 12a + 36
a² - 6a - 27 = 0
Δ 36 +108 = 144
√Δ = 12
a1 = [6 -12]/2 = -6/2 = -3 < 0 - odpada
a2 = [6+12]/2 = 18/2 = 9
a = 9, b = a+3 = 9 +3 = 12, c = b +3 = 12 +3 = 15
Odp. Boki tego trójkąta mają długości 9,12,15
Spr. 9²+ 12² = 81 + 144 = 225 = 15²

Answer 2

Z.2
a,b,c - długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg
arytmetyczny
a) obwód trójkąta równa się 24
a, a+r, a+ 2r - długości boków tego trójkąta
a+( a + r) + (a + 2r) = 24
3a + 3r = 24 /:3
a +r = 8
a = 8 -r
a² + (a+r)² = (a+2r)²
a² - 2ar - 3r² = 0
(8-r)² -2(8-r)r - 3r² = 0
64 -16r + r²-16r + 2r² - 3r² = 0
32r = 64
r = 2
a = 8 - r = 8 - 2 = 6
czyli
a= 6, b = 6+2 = 8, c = 8+2 = 10
Odp.Boki tego trójkąta maja długości : 6,8, 10 .
b)
Długość każdego boku Δ jest o 3 większa od poprzedniego.
Mamy
a, a+3, a + 6
a² +(a+3)² = (a+6)²
a² + a² +6a + 9 = a² + 12a + 36
a² - 6a - 27 = 0

a=1, b=-6,c=-27

Δ 36 +108 = 144
√Δ = 12
a₁ = (6 + 12)/2 = 18/2 = 9
a₂ = (6 - 12)/2 = -6/2 = -3
długości boków nie mogą być ujemne więc:
9, 12, 15

Zad.1.
a₁ = 30
r = -3
a<n> = 1/8 S<n-1>
a<n> = a₁ +(n-1)r = 30 + (n-1)(-3) = 30 -3n +3 = -3n +33
a<n> = -3n +33
a<n-1> = -3(n-1) + 33 = -3n +3 +33 = -3n +36
S<n-1> = ((n-1)(a₁ +a<n-1>)) / 2
S<n-1> = ((n-1)(30 - 3n +36))/2 = ((n-1)(-3n +6))/2 =
= (-3n² + 9n - 6)/2
a<n> = 1/8 ((-3n² + 9n - 6)/2)= (-3n² +9n - 6)/16
Ponieważ:
a<n> = -3n +33, więc podstawiając do powyzszego mamy
-3n +33 = (-3n² +9n - 6)/16 / *16
-48n +528 = -3n² + 9n - 6
3n² - 57n + 534 = 0 /:3
n² - 19n + 178 = 0
Δ = 361 - 4*1*178 = 361 - 712< 0

I wychodzą cuda na kiju.... Muszę jeszcze raz osiąść na spokojnie i przeanalizować , bo gdzieś zrobiłam błąd rachunkowy -:)))