Question

zadanie 1
Na podstawie zależności pomiędzy odległością środka okręgu o: (x-2)² + (y+4)² = 100 od prostej l: y = -1/7x + 24/7 a długością promienia tego okręgu, określ ich wzajemne położenie. Jeśli prosta i okrąg mają punkty wspólne, to oblicz ich współrzędne.
zadanie 2
Na podstawie zależności pomiędzy odległością między środkami okręgów o1: x² + y² - 4x - 12 = 0 i o2: x² + y² - 4x + 4y + 4 = 0 a długością ich promieni, określ wzajemne położenie tych okręgów.

Answer 1

z.1

( x -2)^2 + ( y + 4)^2 = 100

zatem

S = ( 2; - 4)   oraz  r = 10

-------------------------------

y = ( -1/7) x + 24/7  / * 7

7y = - x + 24

x + 7y -24 = 0  - równanie prostej w postaci ogólnej

 

Odległość  punktu S od danej prostej

 

d = I A x0 + B y0 + c I / p( A^2 + B^2 )

Mamy

A = 1, B = 7, C = - 24

x0 = 2; y0 = - 4

zatem

d = I 1*2 + 7*(-4) + ( -24) I / p( 1^2 + 7^2)

d = I 1 - 28 - 24 I / p( 1 + 49) = I - 51 I / p( 50) = 51 / p(25*2) = 51/5p(2)

d = około 7,2

Mamy więc

 

d < r     czyli  prosta przecina okrąg w 2 punktach.

====================================================

II  sposób:

 

( x -2)^2 + ( y + 4)^2 = 100

y = ( -1/7) x + 24/7

----------------------------

Wstawiam za  y do I  równania

x^2 - 4x + 4 + (  ( -1/7) x + 24/7 + 4)^2 = 100

x^2 - 4x + 4 + ( ( -1/7) x + 24/7 + 28/7 )^2 = 100

x^2 - 4x + 4 + ( ( -1/7) x + 52/7)^2 = 100

x^2 - 4x + 4 + (1/49) x^2 - (104/49)x + 2704/49 = 100  / * 49

49 x^2 - 196 x + 196 + x^2 - 104 x + 2704 - 4900 = 0

50 x^2 - 300 x - 2500 = 0   / : 50

x^2 - 6 x - 50 = 0

------------------------

delta = ( -6)^2 - 4*1*( -50) = 36 + 200 = 236 > 0 

więc równanie ma 2 pierwiastki

p( delty) = p( 236) = p( 4*59) = 2 p(59)

x1 = [ 6 - 2 p(59) ]/2 = 3 - p(59)

--------------------------------------

x2 = [ 6 + 2 p(59)]/2 = 3 + p(59)

--------------------------------------

Obloczam igreki

y1 = ( -1/7)*( 3 - p(59)) + 24/7 = -3/7 + p(59)/7 + 24/7 = 21/7 + p(59)/7 =

= 3 + p(59)/7

-------------------

y2 = ( -1/7)*( 3 + p(59)) + 24/7 = - 3/7 - p(59)/7 + 24/7 = 21/7 - p(59)/7 =

= 3 - p(59)/7

----------------

Punkty przecięcia prostej z okręgiem:

K = ( x1; y1) = (  3 - p(59) ; 3 + p(59)/7)

L = ( x2; y2) = ( 3 + p(59);  3 - p(59)/7 )

=======================================

z.2

x^2 + y^2 - 4x -12 = 0

( x -2)^2 - 4 + ( y - 0)^2 - 12 = 0

( x - 2) + ( y - 0)^2 = 16

zatem

S1 = ( 2; 0)   i  r1 =  4

-------------------------------

x^2 + y^2 - 4x + 4y + 4 = 0

( x -2)^2 - 4 + ( y + 2)^2 - 4 + 4 = 0

( x -2)^2 + ( y + 2)^2 = 4

zatem

S2 = ( 2; - 2)  i     r2 = 2

-------------------------------Obliczam odległośc środków okręgów:

I S1 S2 I^2 = ( 2 - 2)^2 + (- 2 - 0)^2 = 0 + 4 = 4

zatem I S1 S2 I = 2

---------------------------

Mmay

IS! S2 I =  r1 - r2 = 4 - 2 = 2

Okręgi są styczne wewnętrznie.

====================================

 

p(59)  - pierwiastek kwadratowy z  59