Question

50pkt za półdarmo !!!

1. Wielomiany

* Definicja wielomianu stopnia n (nN+) jednej zmiennej rzeczywistej.

* Równość wielomianów.

* Działania arytmetyczne na wielomianach.

* Pierwiastek wielomianu, pierwiastek wielokrotny.

* Metody rozkładania wielomianu na czynniki.

Wyjaśnij powyższe zagadnienia oraz podaj możliwie występujące wzory. a także opisz np. opisz metody rozkładania wielomianu na czynniki (minimum 3 zdania do każdego).

Nie wolno korzystać z internetu!

Życzę miłej pracy. :-)

Answer 1

Wielomianem stopnia n jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy

funkcję

W(x) = a0 +a1 x + a2 x^2 + ...+ an x^n, gdzie

n jest liczbą naturalną, x jest liczbą rzeczywistą, a0,a1,a2, ..., an - liczby

rzeczywiste,ao jest różne od 0.

Liczby a0,a1,a2, ... < an - nazywamy współczynnikami wielomianu,

a ponadto a0  nazywamy wyrazem wolnym.

--------------------------------------------------------------------------------------

Funkcja stała W ( X ) = c, gdzie  c nie jest zerem, jest wielomianem

stopnia zerowego.

---------------------------------------------------------------------------------------

Wielomianem zerowym nazywamy funkcję stale równą zero, tzn.

dla każdej liczby rzeczywistej x  zachodzi W(x) = 0.

Wielomian zerowy nie ma określonego stopnia.

==============================================

Wielomiany W(x)  i  P(x) są równe, jeśli dla każdej liczby liczby

rzeczywistej a  P( a) = W ( a)

Tw.

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy , gdy są tego samego stopnia

i mają równe współczynniki przy jednakowych potęgach zmiennej.

===============================================================

Funkcję J( x) = an x^n , gdzie x oraz an  są  liczbami rzeczywistymi ,

n jest liczbą naturalną , nazywamy jednomianem stopnia n.

Jednomiany tego samego stopnia nazywamy podobnymi.

Wielomian jest sumą  jednomianów, które nazywamy wyrazami wielomianu.

================================================================

Jeżeli wielomiany W(x) i  P(x) są niezerowe i st. W(x) < = st> P(x), to

st. (W(x) * P(x)) = st. W(x) + st. P(x)

st. ( W(x) + P(x)) < = st. P(x)  lub W(x) + P(x) = 0

===============================================

Dodawanie wielomianów

 

Aby dodać dwa wielomiany tej samej zmiennej, dodajemy ich wyrazy

podobne.

Np.

W(x) = 2 + 3 x^2 - 5 x^4

P(x) = -4 + 3x - x^2 + x^3

W(x) + P(x) = (2 - 4) + (0 + 3)x + (3 - 1) x^2 + ( 0 + 1) x^3  - 5 x^4 =

= -2 + 3 x + 2 x^2 + x^3 - 5 x^4

------------------------------------------

Odejmowanie wielomianów

 

Aby odjąć wielomian P(x) należy dodać wielomian o współczynnikach 

będących liczbami przeciwnymi do odpowiednich współczynników P(x).

np.

W(x) = 10x - 12 x^4 + x^5

P(x) = -3 + x^2 - x^4  + 9 x^5

W(x) - P(x) = 10x - 12 x^4 + x^5 + [ 3 - x^2 + x^4 - 9 x^5 ] =

= 3 + 10x - x^2 - 11 x^4 - 8 x^5

--------------------------------------

 Mnożenie wielomianów

 

Iloczynem wielomianu W(x) przez wielomian P(x) nazywamy wielomian,

który jest sumą wszystkich iloczynów wyrazów jednego wielomianu

przez wyrazy drugiego wielomianu.

Np.

W(x) = 3 + x + 2 x^2

P(x) = -x + 4 x^3

W(x)* P(x) = 3*(-x) + 3*4 x^3 + x*(- x) + x* 4 x^3 + 2 x^2 *(-x) +2x^2*4 x^3=

= -3x + 12 x^3 - x^2 + 4 x^4  - 2 x^3 + 8 x^5 =

= -3x - x^2 + 10 x^3 + 4 x^4 + 8 x^5

-------------------------------------------------

 

Dzielenie wielomianów

 

Jeżeli wielomian W(x) nie jest wielomianem zerowym, to wielomian Q(x) nazywamy dzielnikiem wielomianu W(x( wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje

taki wielomian P(x), że

W(x) = P(x) * Q(x).

Wielomian P(x) jest ilorazem wielomianu W(x) przez wielomian Q(x).

 

Dzielenie wielomianu wykonujemy podobnie jak dzielenie liczb

naturalnych sposobem pisemnym.

 

Np.

x + 2

----------------------------

(2 x^3 + 4 x^2 - 3x - 6 ) : ( 2 x^2 - 3)

-2 x^3 + 3x

---------------------

......... 4 x^2 - 6

....... - 4 x^2 + 6

-----------------------

.................. 0

=======================================================

Pierwiastkiem wielomianu  W(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + ... + an x^n

jest jego miejsce zerowe, tzn. każda liczba rzeczywista r , że

W( r) = 0

------------------------

Wielomian

W(x) = (x -5)(2x - 3)(x + 4)(x - pi )

ma jeden pierwiastek bedący liczbą naturalną : x1 = 5

dwa pierwiastki całkowite : x1 = 5,  x2 = - 4

trzy pierwiastki wymierne: x1 = 5, x2 = - 4,  x3 = 3/2

cztery pierwiastki rzeczywiste; x1 = 5,   x2 = -4, x3 = 3/2,  x4 = pi

--------------------------------------

Tw.

Liczba r jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy

wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x - r.

Tw.

Wielomian jednej zmiennej stopnia n  ma co najwyżej n pierwiastków.

------------------------------------------------------------------------------------

Liczbę  r nazywamy pierwiastkiem m - krotnym wielomianu W(x)

wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez ( x- r)^m,

a nie jest podzielny przez (x - r)^(m + 1)

Liczbę m nazywamy krotnością pierwiastka.

-----------------------------------------------------------

 Jeżeli wielomian W(x) = a0 +a1 x + a2 x^2 + ... + an x^n

o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny w postaci ulamka

nieskracalnego p/q , to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0, a q jest

dzielnikiem an.

Jeżeli wielomian W(x) o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek

całkowity , to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego a0.

 

Każdy wielomian W(x) mozna przedstawić jako iloczyn czynników , które są

wielomianami stopnia co najwyżej drugiego.

---------------------------------------------------

Np.

Wyznacz pierwiastki wielomianu

W(x) = 2 x^3 - 7x^2 - 12 x + 45

Sprawdzam,że dzielnik wyrazu wolnego - liczba 3 jest pierwiastkiem W(x)

W(3) = 2 *3^3 - 7 *3^2 - 12*3 + 45 = 54 - 63 - 36 + 45 = 99 - 99 = 0

Dzielę wielomian W(x) przez dwumian ( x - 3)

 

2 x^2 - x - 15

------------------------------

2 x^3 - 7 x^2 - 12 x + 45  : x - 3

- 2 x^3 + 6 x^2

---------------------------

........ - x^2 - 12 x

.........  x^2 - 3x

---------------------------

............... - 15x + 45

................. 15x - 45

--------------------------------

......................... 0

 

Zatem W(x) = (x-3)(2 x^2 - x - 15 )

 

2 x^2 -x - 15 = 0

delta = 1 - 4*2*(-15) = 1 + 120 = 121

p (delty ) = 11

x = [ 1 - 11]/4 = -10/4 = -2,5

lub

x = [ 1 + 11] /4 = 12/4 = 3

Mamy pierwiastki:

x1 = -2,5; x2 = 3, x3 = 3

3 jest pierwiastkiem podwójnym.

W(x) = (x - 3)^2 * (2x + 5)

=======================================

 

Rozkładanie wielomianu na czynniki

 

I) Rozkład z zastosowaniem twierdzeń.

Np.

W(x) = 2 x^4 - 3 x^3 - 5 x^2 + 14 x - 8

Sprwdzam, które dzielniki wyrazu wolnego są pierwiastkami W(x)

W(1) = 2*1^4 - 3*1^3 - 5*1^2 + 14*1 - 8 = 2 - 3 - 5 + 14 - 8 = 16 - 16 = 0

1  jest pierwiastkiem W(x)

W( -2) = 2*(-2)^4 - 3*(-2)^3 - 5 *(-2)^2 + 14*(-2) - 8 =

= 2*16 + 24 - 20 - 28 - 8 = 56 - 56 = 0

-2  jest pierwiastkiem W(x)

W(x) jest podzielny przez (x -1) oraz przez ( x + 2) , zatem jest

podzielny przez ( x -1)(x + 2) = x^2 + x - 2

Wykonujemy dzielenie W(x) przez  x^2 + x - 2

 

2 x^2 - 5 x + 4

-----------------------------------

2 x^4 - 3 x^3 - 5x^2 + 14x - 8  :  x^2 + x - 2

-2x^4 - 2x^3 + 4 x^2

------------------------------------

....... - 5 x^3 - x^2 + 14 x

........ 5x^3 + 5x^2 - 10x

-------------------------------------

................ 4 x^2 + 4 x - 8

............... - 4 x^2 - 4 x + 8

------------------------------------

................................ 0

 

 

2 x^2 - 5x + 4 = 0

delta = 25 - 4*2*4 = 25 - 32 < 0   - nie ma pierwiastków

zatem

 

W(x) = ( x -1)(x + 2)*( 2 x^2 - 5x + 4)

=========================================

 II )

Korzystanie z wzorów skróconego mnożenia

 

W(x) = x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1 = ( x^2 -1)(x^2 + 1) =(x-1)(x+1)(x^2 + 1)

-------------------------------------------------------------------------------------

P(x) = x^4 + 1 = (x^2 + 1)^2 - 2 x^2  = ( x^2 + 1 - p(2)x)(x^2 +1 + p(2)x) =

=( x^2 - p(2)x + 1)(x^2 + p(2)x + 1)

------------------------------------------

Q(x) = 16 x^4 - 81 = (4x^2)^2 - 9^2 = ( 4x^2 - 9)*(4 x^2 + 9)=

= (2x - 3)*(2x + 3)*( 4 x^2 + 9)

---------------------------------------

III )

Grupowanie wyrazów

 

W(x) = x^3 - 2 x^2 - 9x + 18 = x^2 *(x - 2) - 9*(x - 2) =

= (x -2)*(x^2 - 9) = (x-2)(x -3)(x + 3)

 

P(x) = x^3 + 7 x^2 - 2x - 14 = x^2 *( x + 7) - 2*(x + 7) =

= (x + 7)*(x^2 - 2) = ( x + 7)*( x - p(2))*(x + p(2))

 

Q(x) = x^3 - 2x^2 - 16x + 32 = x^2 *(x - 2) - 16*(x - 2) =

= (x -2)*(x^2 - 16) = (x -2)*( x -4)*(x + 4)

 

R(x) = - 4 x^4 + 26 x^3 - 12 x^2 = - 2 x^2 *(2 x^2 - 13 x + 6) =

= - 2 x^2 *2*( x - 1/2)*(x - 6)

bo

 

2 x^2 - 13 x + 6 = 0

delta = 169 - 4*2*6 = 169 - 48 = 121

p (delty) = 11

x = [ 13 - 11]/4 = 1/2

lub  x = [ 13 + 11]/4 = 6

 

-------------------------------------------

Answer 2

1. Definicja wielomianu stopnia n (n ∈ N₊) jednej zmiennej rzeczywistej.

Wielomiany jednej zmiennej są pewną funkcją, dlatego często spotyka się zapisy W(x) , P(x) , R(x) , gdzie x jest zmienną rzeczywistą.

Wielomian stopnia n jednej zmiennej rzeczywistej jest to taki wielomian, którego najwyższa potęga przy zmiennej rzeczywistej wynosi n.

Dziedziną wielomianu jednej zmiennej rzeczywistej jest zbiór liczb rzeczywistych.

 

Zadanie pierwsze.

Jakiego stopnia są podane wielomiany?

  (odpowiedź: szóstego)

(odpowiedź: piątego)

(odpowiedź: dziewiątego)

Zadanie drugie.

Uporządkuj wielomian malejąco:

Zad.3

Uporządkuj wielomian rosnąco:

 

2. Równość wielomianów

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia, gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach są sobie równe oraz mają te same dziedziny.

 

Zadanie 1

Czy podane wielomiany są równe?

W(x) = 10x3 + 3x2 + 4x

G(x) = 10x3 + 3x2 + 4x

(odp. tak)

Zad. 2

Czy podane wielomiany są równe?

W(x) = 9x5 + 4x2 + x

G(x) = 10x5 + 4x2 + x

(odp. nie)

Zad.3

Czy podane wielomiany są równe?

(odp. tak)

3. Działania arytmetyczne na wielomianach:

a) dodawanie i odejmowanie

Dodawanie i odejmowanie wielomianów polega na dodawaniu lub odejmowaniu współczynników które stoją przy zmiennej tego samego stopnia.

 

zad. 1

Odejmij wielomiany:

 

b)

mnożenie wielomianów

mnożenie wielomianów polega na wymnożeniu każdego wyrazu wielomianu pierwszego przez wszystkie wyrazy drugiego wielomianu.

 

Zad. 2.

wymnóż podane wielomiany:

 

c)

dzielenie wielomianów

 

jeśli chcemy podzielić wielomian dowolnego stopnia przez dwumian to wtedy tworzymy schemat hornera.

załóżmy że

 

w tym celu tworzysz dwuwierszową tabelkę, liczba kolumn równa liczbie wyrazów wielomianu.

 

do pierwszego wiersza tabelki wpisujesz współczynniki wielomianu.

do pierwszej komórki drugiego wiersza wpisujesz pierwszy współczynnik wielomianu (przepisujesz jak wyzej).

 

i teraz wykorzystujesz następującą operację: mnożysz liczbe z pierwszej komórki drugiego wiersza tabelki przez liczbę 2 (ponieważ jest ona pierwiastkiem wyrażenia x-2) a następnie dodajesz to wyniku wyraz "po przekątnej w prawo", czyli w tym przypadku trójkę.

otrzymany wynik wpisujesz w drugiej komórce drugiego wiersza tabelki.

operację powtarzasz dla wszystkich komórek pierwszego wiersza, pamiętając o tym, że za każdym razem zaczynamy od liczby którą otrzymaliśmy jako wynik. Istotne jest też, że wszystkie liczby w drugim wierszu są to współczynniki wielomianu o 1 niższego od wielomianu pierwotnego (oprócz ostatniej komórki drugiego wiersza) , a ostatnia komórka drugiego wiersza jest resztą z dzielenia wielomianów.

 

przykład:

 

W(x):(x-2)

 

po zrobieniu tabelki powinniśmy otrzymac cos takiego:

1 | -4 | 3  | 5  |

-----------------------

1 | -2 | -1 | -7|

 

czyli

W(x)=(x²-2x-1)(x-2)-7

 

tak, taką metodę stosujemy gdy dzielimy wielomian przez wielomian stopnia pierwszego (dwumian).

 

a teraz metoda uniwersalna, nie zależna od stopnia dzielnika.

 

Z dzieleniem wielomianów jest tak samo jak z dzieleniem liczb.

 

Zadanie 3.

podziel wielomian przez dwumian:

(x^2+3x-1):(x-1)

(odp. (x-1)(x+4)+3

 

4. Pierwiastek wielomianu , pierwiastek wielokrotny.

 

Twierdzenie o całkowitym pierwiastku wielomianu:

Jeżeli wielomian posiada pierwiastki wymierne, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. (współczynnik przy wyrazie wiodącym równy jest 1).

 

rozszerzenie tego twierdzenia

Jeśli współczynnik przy wyrazie wiodącym nie jest równy 1 a wielomian posiada pierwiastki wymierne to pierwiastka należy szukać pod postacią

p/q , gdzie p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a q jest dzielnikiem wyrazu wiodącego.

 

twierdzeniu Bolzano-Cauchy'ego:  (tak zwana metoda równego podziału)

jeśli wielomian jednej zmiennej rzeczywistej jest funkcją ciągłą w dziedzinie i monotoniczna w przedziałach i:

f(a) >0

f(b) <0

wtedy pierwiastek wielomianu jest zawarty w przedziale (a;b)

 

twierdzenie Bezouta

Jeśli wiadomo, że wielomian dzieli się przez dwumian (x-a) BEZ RESZTY , to liczba a jest pierwiastkiem tego wielomianu.

 pierwiastek wielokrotny czyli twierdzenie Bezouta , to już omówiłem..

 

Zadanie 1.

Podaj pierwiastek wielomianu wiedząc że wielomian W(x) dzieli się przez

a) (x-2)

b) (x+1)

c) x-3)

d) (x+4)

bez reszty

odpowiedzi:

a) x=2

b) x=-1

c) x=3

d) x=-4

 

Zadanie 2.

 

Znajdź z dokładnością do jednego miejsca po przecinku pierwiastek funkcji f(x)=3x⁴-2x³-22x²+4x+32  w przedziale  <0;2>

 

 

rozwiązanie:

f(x)=3x⁴-2x³-22x²+4x+32

x ∈ <0;2>

f(0)=32

f(2)=-16

a=0+2/2=1

f(a)=f(1)=15

f(2)*f(a)<0 ⇒ x₀∈ (1;2)

b=1+2/2=1,5

f(b)=-3,06,2

f(a)*f(b)<= ⇒ x₀∈(1;1,5)

c=(1+1,5)/2=1,25

f(c)=6,04296875...

f(c)=6,04296875

f(a)*f(c)<0 ⇒ x₀∈(1,25;1,5)

d=1,375

f(d)=1,6137

f(d)*f(b)<0 ⇒ x₀∈(1,375;1,5)

e=1,4375

f(e)=-0,841751099..

f(d)*f(e)<0 ⇒ x₀ ∈ (1;375 ; 1,4375)

f=1,40625

f(f)=0,289294233...

f(e)*f(f)<0 ⇒ x₀∈(1,40625;1,4375)

x₀≈1,4

 

czyli x w przyblizeniu 1,4

 

 

Zad.3

1.Znajdź pierwiastek funkcji

f(x)=2x³-3x²+22x-33

  w przedziale <-4;4>   wykorzystując twierdzenie Bolzano-Cauchy'ego.

 

Rozwiązanie:

f(x)=2x³-3x²+22x-33

x ∈ <-4;4>

f(-4)=-297

f(4)=135

c=(-4+4)/2=0

f(c)=f(0)=-33

f(-4)*f(c)>0

f(4)*f(c)<0 ⇒ x₀∈ (0;4)

d=0+4/2=2

f(d)=15

f(4)*f(d)>0

f(c)*f(d)<0 ⇒ x₀∈(0;2)

e=0+2/2=1

f(e)=-12

f(d)*f(e)<0 ⇒ x₀∈(1;2)

f=(1+2)/2=1,5

f(f)=f(1,5)=0

x₀=1,5

 

odpowiedź:

x=1,5

 

5. metody rozkładania wielomianu na czynniki

 

jeśli wyraz wolny jest równy zero to wyciągamy x do możliwie najwyższej potęgi  jakiej się da przed nawias.

jeśli wyraz wolny nie równa się zero a wielomian jest wyższego stopnia niż wielomian drugiego stopnia to wtedy próbujemy znaleźć pierwiastek wielomianu i skorzystać z twierdzenia bezouta.

jeśli wielomian jest stopnia drugiego to korzystamy ze wzoru na delty i pierwiastki równania kwadratowego

jeśli wielomian jest wzorem skróconego mnożenia co ciężko zauważyć to z tego korzystamy

 

Zad.1

Rozłóż wielomian na czynniki:

x³-4x+3

 

odpowiedź:

w(x)=x³-4x+3

 

f(1)=1-4+3=4-4=0 (twierdzenie o wymiernym pierwiastku wielomianu)

 

no to teraz z twierdzenia bezouta i schematu hornera

 

x³-4x+3=(x-1)(x²+x-3)

 

x²+x-3=0

Δ=1-4*1*(-3)=13

√Δ=√13

x₁=(-1-√13)/2

x₂=(-1+√13)/2

rozkładam trójmian na czynniki liniowe

(x-(-1-√13)/2)(x-(-1√13)/2)

w(x)=x³-4x+3=(x-1)(x+(1+√13)/2)(x+(1-√13)/2)

 

Zad.2

rozłóż wielomian na czynniki

W(x)=x²-9

 

odpowiedź:

zauważamy wzór skróconego mnożenia

a²-b²=(a-b)(a+b)

czyli W(x)=(x-3)(x+3)

 

Zad.3

 

W(x)=3x²-6

 

odpowiedź:

wyciągamy 3 przed nawias

W(x)=3(x²-3)

i korzystamy ze wzoru skroconego mnozenia

W(x)=3(x-√3)(x+√3)