Question

50 pkt za półdarmo !!!

1. Funkcja kwadratowa:

* Jednomian stopnia drugiego.

* Postać ogólna funkcji kwadratowej.

* Postać kanoniczna funkcji kwadratowej.

* Miejsca zerowe funkcji kwadratowej; postać iloczynowa funkcji kwadratowej.

* Własności trójmianu kwadratowego.

Wyjaśnij powyższe zagadnienia oraz podaj możliwie występujące wzory (minimum 3 zdania do każdego).

Nie wolno korzystać z internetu!

Życzę miłej pracy. :-)

Answer 1

1.Jednomian to funkcja postaci

y=ax do potęgi n

a to współczynnik jednomianu

n to stopień jednomianu

przykłady jednomianów: 4;x;2a;3abc, 4b³;⁵/₇a²

stopień jednomianu to suma wszystkich wykładników potęg przy zmiennych, np.

jednomian xy=x¹y¹= jednomian stopnia drugiego

2.Funkcja kwadratowa to funkcja postaci;

y=ax²+bx+c

gdy b i c= 0⇒y=ax² [ wierzchołek paraboli leży w punkcie o współrzednych =(0;0)

postać ; y=ax²+bx+c to postać kierunkowa funkcji kwadratowej, gdyż wartośc współczynnika ,, a ,, wskazuje kierunek ramion paraboli;

gdy a>0⇒ ramiona skierowane w górę

gdy a<0⇒ramiona skierowane w dół

postać ogólna: ax²+bx-y+c=0

f(x)=ax²+bx+c              a≠0     x∈R

3.postać kanoniczna:

wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej

f(x)=a(x-p)²+g

gdzie p=-b/2a

q=-Δ/4a

Δ=wyróżnik funkcji kwadratowej

Δ=b²-4ac

W= wierzchołek paraboli

W=(p;q)

4.wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej, tylko, gdy Δ≥0

postać iloczynowa;

f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)

przy czym x₁ i x₂ to miejsca zerowe funkcji, czyli punkty przeciecia osi X przez parabolę, przy czym miejsce zerowe to liczba, a nie punkt, jeśli wiesz np. że funkcja ma 2 m-ca zerowe, np. 2 i 4, to miejsca zerowe funkcji to liczby ; 2 i 4, ale, jeśli masz podać współrzędne przecięcia z osią X, więc mówisz,że parabola przecina oś X w punktach ; (2;0) i (4;0)

x₁=(-b-√Δ)/2a

x₂=(-b+√Δ)/2a

liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowejk [ czyli liczba pierwiastków trójkmianu f(x)=ax²+bx+c), czyli liczba rzeczywistych rozwiązan równania ax²+bx+c=0  zależy od Δ:

gdy Δ<0, wtedy funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych

gdy Δ=0, wtedy funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe [ trójmian ma 1 pierwiastek podwójny)

x₁=x₂=-b/2a

gdy Δ>0, wtedy funkcja ma 2 miejsca zerowe:

x₁ i x₂ [ wzory; patrz wyżej]

5. własności:

Dziedzina; R

zbiór wartości:

dla a>0 przedział: y∈ < -Δ/4a; +∞)

dla a<0 przedział ; y∈(-∞;-Δ/4a>

monotonicznność;

dla a>0 funkcja jest rosnąca dla x∈(-b/2a;+∞)

a malejąca dla x∈(-∞;-b/2a)

dla a<0 funkcja jest rosnąca dla x∈(-∞;-b/2a)

a malejaca dla x∈(-b/2a;+∞)

 

wykresem jest parabola

miejscem przeciecia wykresu z osią Y jest punkt =(0;c)

natomiast miejsc przecięcia z osią X może nie mieć wcale ( gdy Δ<0), może mieć 1 punkt =(-b/2a;0)gdy Δ=0, lub może mieć 2 punkty wspólne , gdy Δ>0: [(-b-√Δ)/2a ; (-b+Δ)/2a]

 

wartości dodatnie i ujemne funkcji zależa od a i Δ

gdy a>0 i Δ<0⇒funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x∈R i nie przyjmuje wartości ujemnych

 

gdy a>0 i Δ>0⇒ przyjmuje wartości dodatnie dla x∈(-∞;x₁)∨(x₂;+∞), a ujemne dla x∈(x₁;x₂

gdy a<0 i Δ<0⇒ przyjmuje wartości ujemne dla x∈R, i nie przyjmuje wartosci dodatnich

 

gdy a<0 i Δ=0⇒przyjmuje wartości ujemne dla x∈R i nie przyjmuje wartosci dodatnich

 

gdy a<0 i Δ>0 przyjmuje wartościi dodatnie dla x∈(x₁;x₂), a wartosci ujemne dla x∈(-∞;x₁) ∨(x₂;+∞)

cdn

 

funkcja kwadratowa osiąga w 1 punkcie wartośc największą lub najmniejszą:

 

gdy a>0, wtedy najm,niejszą wartością jest ; y=-Δ/4a

i funkcja nie przyjmuje wartości największej

 

gdy a<0, wtedy wartością największą jest y=-Δ/4a, a funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej