Question

Zad1
Punkty A=(-4,-5),B=(8,0),C=(13,12),D=(1,7) są wierzchołkami czworokąta ABCD.
a)sprawdz czy czworokąt ABCD jest rombem
b)oblicz pole P czworokąta ABCD
zad2
punkty A=(1/5,2/5) i C=(6/5,9/5) są przeciwległymi wierzchołkami rombu ABCD.
Wyznacz:
a)równanie prostej zawierającej przekątną AC
b)równanie prostej zawierającą przekątną BD
zad3
Punkty A=(3,0),B=(9,6) i D=(3,3) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD,w którym bok AB jest równoległy do boku CD.
a)wyznacz współrzędne wierzchołka C
b)oblicz pole P tego trapezu
c)napisz równanie osi symetrii tego trapezu.
zad4
Punkty A=(4,0),B=(0,5)są wierzchołkami czworokąta ABCD.Wyznacz takie współrzędne punktów C i D należących do prostej o równaniu y=-2x aby czworokąt ABCD był trapezem prostokątnym,w którym kąty BCD i ADC są proste.
zad5
zapisz w postaci kanonicznej równanie okręgu,podaj jego promień i współrzędne środka oraz narysuj ten okrąg.
a)x²+y²-10x+24y-56=0
b)x²+4x+y²+14=0
c)x²-2x+y²-6y-3=0
zad6
Sprawdz które z punktów A,B,C takich,że A=(2,3),B=(-3,2),C=(2,5) leżą na okręgu o równaniu (x+2)²+(y-1)²=20.

Answer 1

Z.1
a)
A =(-4;-5), B = (8;0), C =(13;12), D =(1;7)
-->
AB =[8-(-4);0-(-5)] = [8+4;0+5] = [12;5]
-->
BC =[13 - 8;12 -0] = [5 ; 12]
-->
CD = [1 -13; 7 - 12] = [-12 ; -5]
-->
AD = [1-(-4);7 - (-5)] = [1+4; 7+5] = [5;12]
Obliczam kwadratu długości boków tego czworokąta:
I AB I² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169
I BC I² = 5² + 12² = 169
I CD I² = (-12)² + (-5)² = 144 + 25 = 169
I AD I² = 5² + 12² = 169
Mamy I AB I = I BC I = I CD I = I AD I = √169 = 13, czyli
czworokąt ABCD jest rombem.
b)
-->
AC = [13 -(-4); 12- (-5)] = [13+4; 12 +5] = [17; 17]
-->
BD = [1 - 8; 7 - 0] = [-7; 7]
Pole rombu ABCD obliczam ze wzoru
P = 0,5 *d1*d2 , gdzie d1 oraz d2 - długości przekątnych rombu
Mamy d1 = I AC I oraz d2 = I BD I
I AC I² = 17² + 17² = 2* 17²
d1 = I AC I = √2*√(17²) = 17 √2
I BD I ² = (-7)² + 7² = 2 * 7²
d2 = I BD I = √2 *√ (7²) = 7 √2
zatem P = 0,5 * 17 √2 * 7 √2 = 0,5*2*17*7 = 119 j²
z.2
A = (1/5;2/5) , C = (6/5 ; 9/5) - przeciwległe wierzchołki
rombu ABCD
a) równanie pr AC
y = ax + b
2/5 = (1/5) a + b
9/5 = (6/5) a + b
------------------------ mnożę strony równań przez 5:
2 = a + 5b
9 = 6a + 5b
---------------- od równania II odejmuję równanie I
7 = 6a - a = 5a
a = 7/5
5b = 2 - a = 10/5 - 7/5 = 3/5
b = (3/5) : 5 = 3/25
y =(7/5) x + 3/25
b) równanie prostej BD
Jest to prosta prostopadła do prostej AC i przechodząca przez
środek odcinka AC
Niech S będzie środkiem przekątnej AC
S = { (1/5 + 6/5)/2 ; (2/5 + 9/5)/2) = ( (7/5)/2[ (11/5)/2) =
= ( 7/10; 11/10)
(7/5)* a1 = -1 ----> a1 = - 5/7
y = (-5/7) x + b1
11/10 = (-5/7)*(7/10) + b1
11/10 = -5/10 + b1 ---> b1 = 11/10 + 5/10
b1 = 16/10 = 8/5
pr. BD ma równanie
y = (-5/7) x + 8/5
cdn.