Question

Zad1
Trzy liczby są kolejnymi wyrazami malejącego ciągu geometrycznego (an).Suma tych liczb jest równa 26.Jeżeli do tych licz dodamy odpowiednio 1,6,3 to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego (bn).Oblicz wyrazy ciągu geometrycznego.

Zad2
Trzy liczby,których suma jest równa 93 są trzema początkowymi wyrazami ciągu geometrycznego (an).Te same liczby stanowią pierwszy,drugi i siódmy wyraz ciągu arytmetycznego (bn).Oblicz wyraz ciągu geometrycznego.

Zad3
Drugi,pierwszy i czwarty wyraz ciągu arytmetycznego (an) o różnicy r różnej od zera tworzą ciąg geometryczny(bn).Oblicz iloraz q ciągu geometrycznego (bn).

Zad4
Liczba 3/4 jest pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego (bn) którego iloraz q=-2.Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego (an) jest taki sam jak pierwszy wyraz ciągu geometrycznego (bn). Suma siedmiu początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa sumie siedmiu początkowych wyrazów ciągu (bn).Oblicz różnicę r ciągu arytmetycznego (bn).

Answer 1

Z.1
Mamy : a1,a2,a3 - wyrazy malejącego ciągu geometrycznego
a1+a2+a3 = 26, czyli
a1 + a1*q + a1*q² = 26
a1*(1+q +q²) = 26 = 2*13
a1= 2 i 1+q+q² = 13
q(1+q) = 13-1 = 12 = 3*4 ----> q = 3
Ciąg geometryczny:
a1 = 2
a2 =a1*q = 2*3 = 6
a3 = a1*q² =2*3²= 2*9 = 18
2+6 + 18 = 26
Jest to ciąg geometryczny ale rosnący.
b1=a1+1 =2+1 = 3
b2 = a2+6 =6+6 = 12
b3 = a3 + 3 =18+3 = 21
b2 -b1 = b3-b2
12 -3 = 21-12 = 9
r = 9
b1,b2,b3 - ciąg arytmetyczny.
Odp.Wyrazy ciągu geometrycznego:2,6,18
z.2
a1,a2,a3 - początkowe wyrazy ciagu geometrycznego, zatem
a1 + a1*q +a1*q² =93
a1(1+q+q²) = 93 = 3* 31
a1 = 3 i 1+q+q² = 31 czyli q(1+q) = 31-1 = 30 = 5*6 ---> q = 5
Czyli wyrazami ciągu geometrycznego są:
a1 =3
a2 =a1*q = 3*5 = 15
a3 = a1*q² = 3*25 = 75
3+15+75 = 93
b1 = 3, b2 = 15, b7 = 75 - wyrazy ciągu arytmetycznego
r = b2 - b1 = 15 - 3 = 12
b7 = b1 + 6r = 3 + 6*12 = 3 + 72 = 75
Wszystko się zgadza.
Odp. wyrazy ciągu geometrycznego:3,15,75
z.3
a2,a1,a4 -wyrazy ciągu arytmetycznego o różnicy różnej od 0
tworzą ciąg geometryczny. Obliczyć iloraz ciągu geometrycznego q
a2 = a1 + r, a4 = a1 +3r
b1 = a2 = a1 +r
b2 = a1
b3 = a4 = a1 =3r
mamy
b2/b1 = b3/b2
a1/(a1+r) = (a1+3r)/a1
(a1+r)*(a1+3r) = (a1)²
(a1)² +a1r + 3a1r + 3r² = (a1)², zatem
a1r + 3a1r + 3r² = 0
4a1r + 3r² = 0 <=> r*(4a1 + 3r) = 0 <=> r=0 lub 4a1 + 3r = 0
r = 0 odrzucamy, zatem
3r = -4a1
r = (-4/3)a1
q = b2/b1 = a1/(a1+r) = a1/[a1 -(4/3)a1] =a1 /[a1(1 - 4/3)] =
= a1/[a1*(-1/3)] = 1/(-1/3) = -3
Odp. Iloraz ciągu geometrycznego q = -3.
z.4
Ciąg geometryczny
b1 = 3/4 , q = -2
S7 = b1*{1-q^7]/[1-q] = (3/4)[1-(-2)^7]/[1-(-2)] =
=(3/4)[1+128]/3 = (3/4)[129/3] = 129/4
ciag arytmetyczny
a1 = b1 = 3/4
S7 = 129/4
S7 ={ [a1+a7]*7}/2
2*S7 = [a1+a7]*7
7*[a1 + a7]= 2*S7 = 2*129/4 = 129/2
a1+a7 = 129/14
a7 = 129/14 -a1 = 129/14 - 3/4 = 258/28 - 21/28 = 237/28
a1+ 6r = a7
6r = a7 - a1 = 237/28 - 3/4 = 237/28 - 21/28 = 216/28
r = 216/(28*6) = 36/28 = 9/7
Odp. Różnica ciągu arytmetycznego r = 9/7.