Question

Rozwiąż nierówności kwadratowe : PILNE ! ^2 - oznacza do kwadratu

1. a) (2x-1)^2 > 16

b) (3x + 1)^2 + 3 < 0

c) (4x-1)^2 0

d) 9-(2x-1)^2 0

e) -1 < - (1-x)^2

f)(3x-1)^2 0

2.

a) x > 6x^2

b)1/3x^2 + 4 > 0

c) 3x ^2 + 1 > 2 1/2x (dwa i jedna druga x)

d) 1/2x^2 - x 1

e) 3x^2 + 7 5x

Answer 1

1) a) (2x-1)² > 16

          (2x-1)² - 4² > 0

         (2x-1-4)(2x-1+4) > 0

          (2x-5)(2x+3) > 0

      2x-5=0 ,     2x+3=0

       x=5/2=2½,    x=-3/2 = -1½

    Z wykresu paraboli skierowanej ramionami w górę odczytujemy rozwiązanie:

         x∈ (-∞, -1½) U (2½, ∞)

  b)  (3x+1)²+3 < 0      -    nierówność sprzeczna (brak miejsc zerowych)

        Z wykresu paraboli skierowanej w górę odczytujemy:  x ∈ Ф.

  c)  (4x-1)² ≥ 0                  4x-1=0

                                         4x=1  /:4

                                           x=¼

     Parabola skierowana w górę, ma jedno miejsce zerowe.

    Odczytujemy rozwiązanie:   x ∈ R.

 d)  9 - (2x-1)² ≥ 0

      (3-2x+1)(3+2x-1) ≥ 0

      (4-2x)(2+2x) ≥ 0

     2(2-x)·2(1+x) ≥ 0

        2-x=0 ,  1+x=0

         x=2        x=-1

   Z paraboli skierowanej ramionami w dół odczytujemy rozwiązanie:

        x∈ <-1,2>

 e) -1 < -(1-x)²    /·(-1)

      1 > (1-x)²

      1 - (1-x)² > 0

      (1-1+x)(1+1-x) > 0

         x(2-x) > 0

        x=0,  x=2

     Z paraboli skierowanej w dół odczytujemy rozwiązanie:   x ∈ (0,2)

  f)  (3x-1)² ≤ 0

       Lewa strona nigdy nie będzie <0, zatem zadanie sprowadza się do rozwiązania

       równania:   (3x-1)² = 0   ⇒   3x-1 = 0   ⇒  x = ⅓   (to jest jedyne rozwiązanie

  danej nierówności).

2)  a) x > 6x²

          x - 6x² > 0

          x(1-6x) > 0

         x=0,   1-6x=0

                     6x=1,  x=⅙

    Z wykresu paraboli skierowanej w dół odczytujemy rozwiązanie:   x∈ (1, ⅙).

   b) ⅓x²+4>0

         Brak miejsc zerowych (wyrażenie po lewej stronie nie może być równe zeru).

         Z wykresu paraboli skierowanej w górę odczytujemy:   x∈R.

  c)  3x²+1 > 2½x

       3x² - 5/2 x + 1 > 0    /·2

       6x² -5x+2 > 0

         Δ=25-48=-23    ,  brak miejsc zerowych

      Z wykresu paraboli skierowanej w górę   odczytujemy:    x ∈ R.

  d)  ½x² -x ≥ 1

       ½x² -x -1≥ 0   /·2

         x²-2x-2 ≥ 0

       Δ=4+8=12,     √Δ= √12 = 2√3

       x₁= (2-2√3)/2= 1-√3,      x₂= (2+2√3)/2= 1+√3

       Z paraboli skierowanej ramionami w górę odczytujemy rozwiązanie:

         x∈ (-∞, 1-√3> U <1+√3,∞)

   e) 3x²+7 ≥5x

       3x² -5x +7 ≥ 0

       Δ=25-84 = -59    -   brak miejsc zerowych

      z paraboli skierowanej w górę odczytujemy rozwiązanie:  x∈ R.