Question

Zadania z liczb zespolonych! Pilne! Proszę tylko o dobre odpowiedzi.

zad.1 Rozwiąż podane równania przyjmując, że z=x+iy

a)

z' to inaczej x-iy

b)

odp. a brak rozwiązań, b) z=7/6-i1/6

zad. 2 Podane liczby zespolone zapisz w postaci trygonometrycznej:

a) -7-7i

b) -5+5i

odp. a) 7(cos5/4pi+isin5/4pi), b) 10(cos2/3pi + isin2/3pi)

zad.3 Oblicz wartości podanych wyrażeń, wynik podaj w postaci algebraicznej:

a) (cos pi/4-isin pi/4) ^10 b) (1+i)^22/(2-2 pierwiastek z3 i)^6

odp. a) -i, b) -1/2i

Answer 1

z.1

a)

( 1 + i)/z = (2 - 3 i)/ z'

czyli

(1 + i) * z' = z*(2 - 3 i)

(1 + i)*(x - y i) = ( x + y i)*(2 - 3 i)

x - y i + x i - y*i^2 = 2 x - 3 x i + 2y i - 3y i^2

Ponieważ i ^2 = - 1, więc mamy

 x - y i + x i + y = 2 x - 3x i + 2y i + 3y

(x + y) + (x - y) i = (2x +3y) + (2y - 3x) i

zatem

x + y = 2x + 3y

x - y = 2y - 3x

-------------------

- x = 2y

4x = 3y

-------------

 x =  - 2y

4*( - 2y) = 3y

- 8 y = 3 y  / : y

- 8 = 3    - sprzeczność   - nie ma rozwiązania

============================================

b)

( 2 + i)/(z - 1 + 4 i ) = ( 1 - i)/(2 z + i)

 

(2 + i)*(2 z + i ) = ( z - 1 + 4 i )*( 1 - i )

4 z + 2 i + 2z i + i^2 = z - z i - 1 + i + 4 i - 4 i^2 )

4 z + 2 i + 2 z i - 1  = z - z i + 5 i + 4

3 z + 3 z i = 4 + 3 i

( 3 + 3 i ) z = 4 + 3 i

z = (4 + 3 i ) /(3 + 3 i)

======================

Mnozymy licznik i mianownik przez (3 - 3 i )

z = [ 12 - 12 i + 9 i - 9 i^2 ]/[ 9 - 9 i^2 )

z = [ 12 - 3 i + 9 ]/ ( 9 + 9)

z = [ 21 - 3 i ]/18

z = 21/18 - (3/18) i

z = 7/6 - (1/6) I

===============

z.2

a)  z = - 7 - 7 i

a = - 7, b = - 7

zatem I z I = p[ (-7)^2 + (-7)^2 ] = p[ 49 + 49] = p[ 49*2]

I z I = 7 p(2)

==============

cos fi = a/I z I = - 7/ 7 p(2) = - 1/p(2) = - p(2)/2

sin fi = b / I z I = - 7/ 7 p(2) = - 1/ p(2) = - p(2)/2

zatem

fi = pi + pi/4 = (5/4) pi

z = I ZI * ( cos fi = i sin fi )

czyli

z = 7 p(2) *( cos (5/4) pi + i  sin (5/4) pi )

=======================================

b)

z = - 5 + 5 p(3) i

a = - 5

b = 5 p(3)

zatem

I z I = p [ (-5)^2 + ( 5 p(3))^2 ] = p [ 25 + 75] = p[100] = 10

cos fi = a /I z I = - 5/10 = - 1/2

sin fi = b / I z I = 5 p(3) / 10 = p(3)/2

zatem   fi = pi/2 + pi/6 = (3 pi)/6 = pi/6 = (4 pi)/6 = (2 pi)/3

z = 10*( cos (2/3) pi + i  sin (2/3) pi )

====================================

z.3

a)

z = ( cos (pi/4) - i sin (pi/4))

zatem

z^10 = ( cos 10*(pi/4) - i *10*(pi/4)) = cos 2,5 pi - i sin 2,5 pi =

= cos 0,5 pi - i sin 0,5 pi = 0 - i *1 = - i

===================================

b)

z1 = 1 + i

I z1 I = p( 1^2 + (-1)^2] = p [ 2 + 1] = p(2)

cos fi = 1/p(2) = p(2)/2

sin fi = 1 /p(2) =  p(2)/2

zatem  fi = pi/4

z1 = p(2)*( cos pi/4 + i sin pi/4)

czyli

z1^22= ( p(2))^22 * (  cos 22*(1/4) pi + i sin 22*(1/4) pi) =

= 2 ^11 * ( cos 5.5 pi + i sin 5,5 pi ) =

= 2^11 * ( cos (3/2) pi + i sin (3/2) pi ) = 2 ^11*( 0 + i*(-1)) =

= 2^11 * ( - i) = - 2 ^11 * i

----------------------------------------------------------------

z2 = 2 - 2 p(3) i

I z2 I = p [ 2^2 + (-2 p(3))^2 ] = p [4 + 12] = p(16) = 4

cos fi = 2/4 = 1/2

sin fi = - 2 p(3)/4 = - p(3)/2

fi = 2 pi - pi/3 = (5/3) pi

z2 = 4*( cos (5/3) pi + i sin (5/3) pi )

zatem

( z2 )^6 = 4^6 * ( cos 6*(5/3) pi + i  sin 6*(5/3) pi ) =

= 2^ 12  * cos (5/2) pi + i sin (5/2) pi ) =

= 2 ^12 * ( cos 0,5 pi + i sin 0,5 pi ) = 2^12 *(0 + i ) = 2^12  * i

-----------------------------------------------------------------------------

 (z1)^22 / (z2)^6 = - 2 ^11 * i  / 2^12 * i  = - 1/2

==============================================