Zadania z optyki, klasa III liceum, bardzo proszę o rozwiązania osoby, które dobrze to rozumieją i potrafią:
1. Wiązka promieni równoległych pada na wklęsłe zwierciadło o promieniu krzywizny równym 20 cm. Ile wynosi zdolność skupiająca zwierciadła i gdzie znajduje się jego ognisko?
2. Na dnie naczynia wypełnionego wodą do wysokości h=20 cm umieszczono punktowe źródło światła. Po powierzchni wody pływa okrągła nieprzezroczysta płytka, której środek znajduje się dokładnie nad źródłem światła. Znajdź minimalny promień pływającej płytki, przy którym ani jeden promień światła emitowanego przez źródło nie przejdzie nad powierzchnię wody, jeżeli bezwzględny współczynnik załamania wynosi 1,33.
3. Pewien człowiek najpierw obserwował gwiazdy, a następnie zapisał wynik obserwacji w notesie odległym od oka o odległość dobrego wydzenia (25 cm). O ile zmieniła się zdolność skupiająca oka?
4. Soczewka płasko-wklęsła wykonana z materiału o bezwzględnym współczynniku załamania 1,4 umieszczona jest w cieczy o bezwzględnym współczynniku załamania 1,7. Jej zdolność skupiająca wynosi w tych warunkach +2D. Oblicz promień krzywizny powierzchni wklęsłej.
Z góry bardzo dziękuję:)
1.
Ognisko dla zwierciadła znajduje się w tzw. odległości ogniskowej f od zwierciadła, dla kulistego f ≈ R/2, gdzie R jest promieniem krzywizny zwierciadła.
U nas f = 20/2 = 10 cm = 0,1 m
Zdolność skupiająca wyrażona w dioptriach [D] jest odwrotnością ogniskowej w metrach:
D = 1/f = 1/0,1 = 10 [1/m] = 10 [D]
2.
h = 20 cm
n = 1,33
Wiązka światła padająca na powierzchnię krążka oczywiście nie przejdzie dalej. Bierzemy pod uwagę promień przechodzący przez lego skraj. Aby nie przedostał się nad powierzchnię wody, kąt padania musi być taki, żeby promień załamany miał kąt do prostej normalnej (prostopadłej do powierzchni styku ośrodków) równy 90°, czyli 0° do powierzchni - wówczas promień będze się ślizgał, pozostałe promienie będą już pod takim kątem, że promień załamujący zostanie skierowany w stronę wody (jak gdyby się odbijał, a nie załamywał). Zgodnie z prawem załamania na granicy ośrodków (przy czym współczynnik załamania dla powietrza n₂ jest zbliżony do próżni i wynosi 1) mamy:
n₂/n₁ = sinα/sinβ
α = kąt padania światła w ośrodku n₁, β = kąt załamania w ośrodku₂
β ma być co najmniej równe 90°, czyli sinβ =1
więc:
sinα = n₂sinβ/n₁
sinα = 1*1/1,33 = 0,752
skąd wyliczamy α ≈ 48,75
Taki co najmniej kąt padania uzyskamy, jeśli promień płytki będzie taki, żeby
r/h = tgα
r = h tgα
r = 20 * tg 48,75° ≈ 22,81 cm
Dobrze sobie zrobić rysunek i narysować trójkąt prostokątny o przyprostokątnych h i r oraz kącie przy wysokości równym α.
3.
Równanie soczewki:
1/f = 1/x + 1/y, gdzie f = ogniskowa (soczewki oka), x = odległość przedmiotu od soczewki, y = odległość obrazu od soczewki. Możemy przyjąć dla gwiazd x = ∞, więc 1/x = 0 oraz niezmienność y w obu przypadkach (choć w rzeczywistości oprócz zmiany ogniskowej soczewki zmienia się kształt gałki).
Wtedy dla gwiazd:
D₁ = 1/f₁ = 1/y
a dla tekstu:
D₂ = 1/f₂ = 1/x₂ + 1/y
D₂ - D₁ = 1/x₂ = 1/0,25 = 4 D = 4 dioptrie
4.
D = 1/f = +2 D
R₁ = ∞
n₂ = 1,4
n₁ = 1.7
Ogniskowa soczewki o promieniach krzywizny powierzchni R₁, R₂ i współczynnikach załamania ośrodka n₁ oraz materiału soczewki n₂:
1/f = D = (n₂/n₁ - 1)(1/R₁ + 1/R₂).
U nas jedna z powierzchni jest płaska, więc R₁ = ∞, a druga, ponieważ jest wklęsła, więc R₂ < 0. Wtedy uprości się:
D = (n₂/n₁ - 1)/R₂
R₂= (n₂/n₁ - 1)/D
R₂ = (1,4/1,7 - 1)/2
R₂ = -0,353 m
Znak minus wskazuje, że soczewka jest wklęsła. Ta soczewka umieszczona w powietrzu miałaby oczywiście ujemną zdolność skupiającą, czyli byłaby rozpraszająca.