Question

1.Odpowiedz jakie miary mają kąty w trójkącie,którego boki mająnastępujące długości:

a) 2√2 2√2 2√2
b) √3 2√3 3
c) √6 √3/2(z trzy drugie) 3√2/2

2.Odpowiedz jakie kąty ma trójkąt prostąkątny,jeśli:

a)jedna z przyprostąknych ma długośc 15 a przeciwprostokątna ma długość 30

b)każda z przyprostokątnych ma długość 2

c)jedna z przyprostokątnych ma długość √8 a przeciwprostokątna ma długość 4

d) jedna z przyprostokątnych ma długośc √3,a druga 1.

Answer 1

1. a) Jeżeli wszystkie boki mają taką samą długość, to jest to trójkąt równoboczny, a więc każdy kąt ma 60 stopni.
b) Jeżeli boki trójkąta są postaci: a, 2a , a√3 to jest to połowa trójkąta równobocznego, a więc kąty wynoszą : 60, 30 i 90 stopni. W danym przypadku należy zauważyć, że a=√3 skąd boki dł: √3, 2√3, (√3*√3=3)
c) Tutaj podobnie jak w przypadku b). Mamy a=(√6)/2=√3/2(z trzy drugie), a więc dl boków to (√6)/2, (√3* √6)/2=3√2/2 oraz √6=2*(√6/2)

2. b) przyprostokątne mają jednakowe dł więc jest to połow kwadratu z czego wynika, że kąty mają po 45 stopni
c) z tw. Pitagorasa obliczymy, że druga przypr ma dł √8 bo √8*√8+x*x=4*4 -->x*x=16-8=8 ---> x=√8 i wtedy obie przyprostokątne mają równe dł więc jak w b) kąty mają po 45 stopni
d) Z tw Pitagorasa obliczymy, że przeciwprostokątna ma dł 2 bo x*x=√3*√3+1*1=3+1=4 więc x=2 i teraz boki ają dł a, 2a , a√3, gdzie a=1 więc jest to połowa trójkąta równobocznego więc kąty wynoszą 30, 90, 60
a) Przeciwprostokątna jest 2 razy dłuższa od przyprostokątnej, więc druga przypr. będzie miała dł 15√3 i jest to połowa trójkąta równobocznego i kąty to 30, 90, 60

Answer 2

1.Odpowiedz jakie miary mają kąty w trójkącie,którego boki mająnastępujące długości:
a) 2√2 2√2 2√2
b) √3 2√3 3
c) √6 √3/2(z trzy drugie) 3√2/2

2.Odpowiedz jakie kąty ma trójkąt prostąkątny,jeśli:
a)jedna z przyprostąknych ma długośc 15 a przeciwprostokątna ma długość 30
b)każda z przyprostokątnych ma długość 2
c)jedna z przyprostokątnych ma długość √8 a przeciwprostokątna ma długość 4
d) jedna z przyprostokątnych ma długośc √3,a druga 1.


1]
a)
To jest trójkąt równoboczny - wszystkie mają po 60°

b)
To jest trójkąt prostokątny o miarach kątów
naprzeciwko boku 2√3 - 90°
naprzeciwko boku 3 - 60°
naprzeciwko boku √3 - 30°

c)
To jest trójkąt prostokątny o miarach kątów
naprzeciwko boku √6 - 90°
naprzeciwko boku (3√2)/2 - 60°
naprzeciwko boku (3/2) - 30°

2]
a)
naprzeciwko przyprostokątnej 15 - 30°
naprzeciwko drugiej przyprostokątnej - 60°
naprzeciwko przeciwprostokątnej - 90°

b)
To jest trójkąt prostokątny równoramienny, więc posiada jeden kąt prosty 90° i dwa kąty po 45°.

c)
To jest trójkąt prostokątny równoramienny, więc posiada jeden kąt prosty 90° i dwa kąty po 45°.

d)
naprzeciwko przyprostokątnej √3 - 30°
naprzeciwko przyprostokątnej 1 - 60°
naprzeciwko przeciwprostokątnej - 90°

P.S.
Wszystko wyjaśnią Ci zależności umieszczone tutaj:
http://www.math.us.edu.pl/prace/2001/bp/strona4.html

Answer 3

A) 2√2 2√2 2√2
Jeśli wszystkie boki w trójkącie są równe to jest to trójkąt równoboczny, którym każdy kąt ma 60°
b) √3 2√3 3
(√3)² = 3
(2√3)² = 12
3² = 9
czyli (2√3)² = 3² + (√3)² z tw. Pitagorasa wiemy, że jest to trójkąt prostokątny
AB, AC - przyprostokątne
BC - przeciwprostokątna
AB = 3
AC = √3
BC = 2√3
α - kąt przy wierzchołku A, α = 90°
β - kąt przy wierzchołku B
tg β = AC/AB = √3 / 3
β = 30°
γ - kąt przy wierzchołku C
γ = 180°- (90° + 30°) = 60°

c) √6 √3/2 3√2/2
(√6)² = 6
(√3/2)² = 3/2 = 1,5
(3√2/2)² = 18/4 = 4,5
czyli (√6)² = (√3/2)² + (3√2/2)² z tw. Pitagorasa wiemy, że jest to trójkąt prostokątny
AB, AC - przyprostokątne
BC - przeciwprostokątna
AB = 3√2/2
AC = √3/2
BC = √6
α - kąt przy wierzchołku A, α = 90°
β - kąt przy wierzchołku B
tg β = AC/AB = √3/2 / 3√2/2 = √3/√2 : 3√2/2 = √3/√2 * 2/3√2 = √3/3
β = 30°
γ - kąt przy wierzchołku C
γ = 180°- (90° + 30°) = 60°

2.
AB, AC - przyprostokątne
BC - przeciwprostokątna
α - kąt przy wierzchołku A
β - kąt przy wierzchołku B
γ - kąt przy wierzchołku C

a)
AC = 15
BC = 30
α = 90°
sin β = AC / BC = 15 / 30 = 1/2
β = 30°
γ = 180°- (90° + 30°) = 60°

b)każda z przyprostokątnych ma długość 2
AB = AC = 2
α = 90°
czyli jest to trójkąt prostokątny równoramienny, tzn. że pozostałe kąty są równe i mają: β = γ = 45°

c)
α = 90°
AC = √8
BC = 4
sin β = AC / BC = √8 / 4 = √4*2 / 4 = 2√2 / 4 = √2 / 2
β = 45°
γ = 180°- (90° + 45°) = 45°, czyli ten trójkąt też jest prostokątny i równoramienny

d)
α = 90°
AB = √3
AC = 1
ctg β = AB / AC = √3 / 1 = √3
β = 30°
γ = 180°- (90° + 30°) = 60°